【摘 要】
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对称图与对称地图是代数图论和拓扑图论的经典领域之一,尤其是具有高度对称性的图与地图,由于其重要的理论和应用价值,一直是国内外众多专家学者研究的热点问题之一.本文主要研究了完全图及完全二部图在可定向曲面上的嵌入问题,内容包括可嵌入性及嵌入的计数.全文共分为七章,各章安排及主要内容如下:第一章是绪论部分,介绍完全二部地图和完全地图的研究背景及现状,并给出本文的主要工作及研究思路.第二章是预备知识,列出
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对称图与对称地图是代数图论和拓扑图论的经典领域之一,尤其是具有高度对称性的图与地图,由于其重要的理论和应用价值,一直是国内外众多专家学者研究的热点问题之一.本文主要研究了完全图及完全二部图在可定向曲面上的嵌入问题,内容包括可嵌入性及嵌入的计数.全文共分为七章,各章安排及主要内容如下:第一章是绪论部分,介绍完全二部地图和完全地图的研究背景及现状,并给出本文的主要工作及研究思路.第二章是预备知识,列出一些群论、图论以及地图的基础知识和结果.第三章研究了恰有两个可定向边传递嵌入的完全二部图.通过分析完全二部地图自同构群的结构,得到这两个可定向边传递嵌入的自同构群:一个为交换的精确双循环群,一个为非交换的精确双循环群,并且交换的精确双循环群在同构意义下必存在一个可定向的边传递嵌入.接着,给出了非交换精确双循环群的唯一性,并进一步地得到了恰有两个可定向边传递嵌入的完全二部图的完全分类.第四章研究了可定向边正则（即边传递而非弧传递）完全地图的计数问题.通过分析完全图的自同构群中哪些子群是边传递而非弧传递的,得到了可定向边正则完全地图的自同构群.接着,给出了可定向边传递完全地图的一般构造,并通过分析构造的地图得到了可定向边正则完全地图的一系列性质.进一步地,利用组合的方法确定了不同嵌入与不同构嵌入的个数.第五、六章分别研究了可定向点本原完全地图的计数问题、以及地图自同构群的点稳定子群是循环群时的可定向点传递完全地图的计数问题.通过分析点稳定子群作用在地图点集上的不同作用,得到了点稳定子群作用在点的邻域上产生任意多个轨道时的不同嵌入个数.进一步地,第五章给出了轨道数是素数时可定向点本原完全地图不同构的精确计数公式,第六章得到了轨道数是偶数时可定向点传递完全地图不同构计数的最大值.第七章对本文进行总结和展望.
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