【摘 要】
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近年来,带有分数阶导数的模型在物理应用和数学理论中得到了广泛关注,分数阶非线性Schr(?)dinger方程就是其中重要的一类.本文考虑的是分数阶非线性Schr(?)dinger方程的数值
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近年来,带有分数阶导数的模型在物理应用和数学理论中得到了广泛关注,分数阶非线性Schr(?)dinger方程就是其中重要的一类.本文考虑的是分数阶非线性Schr(?)dinger方程的数值求解.经过线性隐式守恒差分离散,我们需要求解一组复的线性方程组.本文主要研究如何利用系数矩阵的结构特征设计出高效的预处理迭代方法.具体内容如下:(1)首先我们从非耦合情形入手.经过线性隐式守恒差分离散,原问题被转化成了一组复的线性方程组.此时,系数矩阵可写为一个非负对角阵、一个正定对称Toeplitz矩阵与一个复单位阵之和.结合此系数矩阵的结构特征,我们对其进行正定与半正定的分裂,提出一类基于交替方向的迭代方法,并通过理论分析证明了迭代方法的收敛性.(2)基于系数矩阵的正定与半正定分裂,我们给出对应的预处理子.在实际应用时,我们还借助循环近似矩阵来优化预处理效果,并通过数值算例来验证预处理方法的有效性.(3)最后,我们考虑耦合的分数阶非线性Schr(?)dinger方程.类似地,利用系数矩阵的结构特征,我们提出一类基于正定半正定分裂的迭代方法,并进行收敛性分析.同时也提出了相应的预处理子,数值算例表明这类预处理子具有良好的预处理效果.
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