线性方程组和矩阵方程常见于科学计算与工程应用的许多领域，其求解问题在电学，力学，振动理论，自动控制理论，以及偏微分方程数值解等许多问题领域有着广泛的应用。因此，研究这类问题的数值方法具有很高的实用价值。本文主要研究了一类线性方程组和一类Sylvester矩阵方程的快速迭代解法，这两类方程分别为形如Ax b的大型稀疏非埃尔米特正定线性方程组和形如AX XB C的Sylvester方程。首先，在现有的HSS迭代算法和PSS迭代算法及其推广算法GPSS迭代算法的基础上，我们给出了一个修正的GPSS（MGPSS）算法来求解大型稀疏非埃尔米特正定线性方程组Ax b。同时，给出了算法的收敛性证明。其次，基于求解大型稀疏非埃尔米特正定线性方程组Ax b的PSS迭代算法以及求解Sylvester方程AX XB C的HSS迭代算法，给出了求解Sylvester方程AX XB C的PSS迭代算法。本文共分四章，组织如下：第一章介绍了求解这一类线性方程组和一类Sylvester矩阵方程的迭代算法的研究背景、研究现状及相关预备知识，同时也介绍了本文的主要研究内容。第二章通过修正一种广义正定和反埃尔米特（GPSS）迭代法，得到了求解大型稀疏非埃尔米特正定线性方程组Ax b的MGPSS迭代算法，同时证明了这种方法是无条件收敛的，并给出了数值例子来验证结论MGPSS迭代法比GPSS迭代法更加有效。第三章通过对求解Sylvester方程AX XB C的HSS迭代算法以及求解大型稀疏非埃尔米特正定线性方程组Ax b的PSS迭代算法的推广，提出了一种解Sylvester方程AX XB C的迭代算法，并给出了这个算法的收敛性证明。同时给出了数值实验来证明算法的有效性。第四章对全文的工作进行了总结，并对今后的研究方向作了一些展望。