对于时滞微分方程，由于其应用背景的广泛性，引起了很多的专家学者的注意，并取得了很多很好的研究成果，但他们对方程的研究主要还是集中在系统解的存在性，唯-性，有界性与稳定性这些定性分析上.而对于系统定量分析的研究却少之又少.如果能够对系统的解进行展开，那么我们就可以更清楚的了解解的内部结构以及解的收敛性质，动态行为，更好的解决数值计算问题等等.也就是说，我们对于系统的研究从此也就可以由定性分析上升到定量分析. 本文主要目的是尝试对系统进行解的展开. 研究的模型来自于实际高精密切割过程中具有时间延迟的机床振动问题。对于此模型，我们对它进行了线性化，得到了下面的方程ü（T）+2ku（t）+（α2+ks/m）u（t）=ks/mu（t-2π/N）其中u（t）表示相应振荡模的方向，k，α，ks，m，N都是一些物理参数，具体的意义参考[8].文献[8]研究了系统的稳定性，这里主要研究系统所确定的算子的谱以及解的展开问题.我们首先借助于泛函分析方法，将二阶时滞微分方程写成抽象发展方程，利用半群理论得到了系统的等价性与适定性.然后对系统算子给出了较细致的谱分析，这里主要借助于文献[9]中计算零点的方法给出了算子本征值的渐近表达式。最后研究系统算子特征向量的性质，并证明本征向量列不能构成状态空间基，即便这样我们仍给出方程解的展开式.这样我们便应用算子半群理论将解的展开问题得以解决.由此对系统的定性分析上升到了系统的定量分析. 为了让本文结果更直观，更清楚，我们对系统进行了数值模拟，通过和传统的迭代方法进行比较，得到系统解展开的优越性.我们发现，当时间t大于某一个时刻后，系统解开始趋于稳定，数值计算得到的结果比迭代的方法更精确.但对于时间t小于某一时刻前的结果我们还没有从理论上给予并验证，因此我们还是建议当时间t小于某一时刻以前用传统的方法去解决. 尽管本文是对机床振动模型进行研究的，但由于我们采用的方法具有一般性，因此这样的方法可以推广到其它模型的研究中去.