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内容摘要:本硕士论文分为四部分.
第一部分:介绍可逆环,半交换环和Abel环的研究概述以及本文的主要工作.
第二部分:我们推广可逆环和半交换环的概念,提出了广义可逆环的概念,并且研究了广义可逆环上的一些性质.主要结果:
定理2.2.5下列命题等价:
(1)R是广义可逆环;
(2)△-1R是广义可逆环,△是由R的中心正则元构成的乘法封闭集.
定理2.2.7下列命题等价:
(1)R[x]是广义可逆环;
(2)△-1R[x,x-1]是广义可逆环,△是由R的中心正则元构成的乘法封闭集.
定理2.2.11对于Armendariz环R,下列命题等价:
(1)R是广义可逆环:
(2)R[x]是广义可逆环.
定理2.2.16对于广义可逆环R,则
(1)对于任意的α∈R,若α2=0,则aR,Ra()N2(R).
(2)对于任意的a,b∈R,若α6=0,则Rab,Rba,abR,baR()N2(R).
(3)R是弱可逆的.
定理2.2.17环R是环R1,R2,…,Rn的直和,则R是广义可逆环()Ri是广义可逆环,i=1,2,…,n.
定理2.2.29设R是广义可逆环,则R是2-素环.
第三部分:我们推广ZIn环的概念,提出了拟ZIn环的概念,并对其性质做了研究.主要结果:
定理3.2.3如果A1,A2,…,An是R的非空子集,n≥2,则下面命题等价:
(1)R满足拟ZIn性:
(2)如果A1A2…An=0,则AnRAn-1R…RA1=0.
定理3.2.5R是拟ZIn环,且n≥3,如果N(R)中所有元的幂零指数中最大的为t,且n≥t,则R是2-素环.
第四部分:我们研究Abel环的扩张性质以及它与其它环的关系.主要结果:
定理4.2.2若环R的平凡扩张S=R∞ V为abel环,则R为abel环.
定理4.2.4设X为环R中幂等元构成的集合,I为X的零化子,若R/I为abel环,则R为abel环.
定理4.3.2若R为abel环,则下列命题等价:
(1)R为强π-正则环;
(2)对R中任意的幂等元e,eRe为强π-正则环.