本文关心几种带特定形状无界散射体的时域正反散射问题,我们分别建立数值方法对正反问题进行求解,并给出相关的分析.散射问题主要研究的是散射体对波场的散射情况,正问题通常是指已知入射波（声波或电磁波）和散射体信息,求解由于散射体存在而产生的散射场或远场,而反问题则是已知入射场和部分散射场或远场数据,来重构散射体的位置和形状.在各类散射问题中,本文关心的是不可穿透散射体对声波的散射.我们的分析在时域进行,即考虑声波为非时谐波.此时时间项不可以忽略,波场满足波动方程.时域问题依赖于时间相关的数据,相对于频域问题,时域问题和地球物理勘探,医学成像以及无损检测等众多应用领域的关系更加密切.并且在实际操作中,时域分析所需的和时间相关的动态数据更容易获得,这样的时域数据所包含的信息量也远多于频域单一频率或者多个离散频率的数据.对正问题,我们使用基于时域位势函数的边界积分方程方法进行求解.时域位势函数的建立基于波动方程的Green函数,通过位势函数在散射体边界上的跃度分析,可以得到时域散射问题解的位势函数表示,进而由此建立边界积分方程.时域位势函数的定义和一个推迟时间相关,因此这样建立的边界积分方程也被叫做推迟势边界积分方程（RPBIE）本文使用基于单层位势的“第一类”RPBIE来求解正问题,对不同问题建立RPBIE的方法也有所不同.在数值计算中,通常不是直接对RPBIE进行离散求解,由于RPBIE关于时间变量的卷积特性,我们使用CQ方法（the convolution quadrature method）实现时间变量的离散,将时域方程变为一组Helmholtz方程,之后进一步进行频域离散实现数值求解.对反散射问题,我们使用时间相关的线性采样法和基于正问题边界积分方程的Newton型迭代法进行求解.线性采样法的基本思想是把非线性不适定的反散射问题转化为一个线性的第一类Fredholm积分方程,在时域中,所得到的积分方程被称为近场方程.线性采样法对散射体的重构基于近场方程的“爆破”性,即近场方程的解在散射体所在区域内部有界,但在穿过散射体边界进入外部时,方程的解出现“爆破”行为,趋向于无穷.迭代法是求解反散射问题经典方法,其重构效果较好,理论上通过迭代数值解可以无限趋近真解.在正问题RPBIE的基础之上,基于Newton法可以建立迭代方程.取定初始数据,通过循环的求解迭代方程和更新初始数据,我们得到的散射体数据将逐渐靠近真实值.本文的几个主要工作如下：1.讨论时域局部扰动半平面正反散射问题求解的数值方法.首先,通过对称延拓,可以将局部扰动半平面问题就转化成等价的全平面中的散射问题.对于正问题,我们把具有对称结构的散射问题限制在半空间内进行分析,利用半空间Green函数重新定义时域位势函数,进而得到半空间上的RPBIE并证明其唯一可解性.之后考虑反散射问题,即通过测量的散射场数据来反演局部扰动.对反问题,使用时域的线性采样法进行求解.为了适应半空间内的数值计算,利用问题的对称性质重新定义近场方程,并证明该方程所具有的“爆破”性质.本文提出的计算策略简单易行,我们给出若干数值算例来证明算法的可行性.2.研究局部扰动半平面问题的三维推广,即三维局部扰动问题.对正问题,我们试图对无界域上散射问题直接分析,并在无界边界建立积分方程进行求解.本文使用基于半空间Green函数的时域单层位势定义,并在此基础上建立边界积分方程,进而证明求解无界边界上的积分方程等价于求解一个定义在积分核有界支集上的积分方程,并对无界边界上的边界积分方程的可解性给出理论分析.对反问题,仍然使用时域线性采样法进行求解,并给出三维问题近场方程的“爆破”性质.3.考虑时域二维开腔体正反散射问题.散射体为带局部凹陷的半平面,此局部凹陷即为我们所说的开腔体.对正问题,通过在洞穴开口处建立透射边界条件,可以得到在有界开腔体区域上的初边值问题,其在开腔体底部和洞穴开口处满足不同的边界条件.通过积分变换的手段进行分析,我们给出弱解意义下正问题的唯一可解性.在边界条件的基础上,利用时域散射问题解的位势表示,我们在开腔体边界上建立RPBIE来求解正问题,并给出其时间离散的CQ方法.对反问题,在正问题RPBIE的基础之上,通过分析RPBIE中各算子的Frechet导数,我们建立反问题的Newton型迭代求解方法.以上是我们近些年的主要研究内容,也构成了本文的主要章节,但带无界散射体的时域正反散射问题的研究不止于此,要做的工作还有很多.此外,我们也对时域的其他散射问题有所涉猎,在本文中也简单提到了一些,做为今后可能的研究方向.