在网络的设计与建造过程中，稳定性是一个必须考虑的重要因素。一个网络可以模拟成一个连通图，其中图的顶点表示组件，边表示连接组件的信道。因而图的连通性与稳定性一直是图论的一个热点。围绕这个问题，除了早期的点(边)连通度外，人们后来又相继引入了一些新的连通性参数，主要有联结数，离散数，完整度和边完整度，粘连度和边粘连度，坚韧度等。这些参数同时反映了一个网络可能遭到的最大程度的破坏和被最大程度破坏后剩余部分的工作状态，因此更好地刻画了图的连通性。 然而考虑一些特殊网络，比如间谍网的上述性质时，情况完全不同了。因为倘若某个间谍被捕了，与其相邻的间谍必然会全部失去作用。以此为背景，G．Gunther于1991年引入图的邻域连通度概念，S．-S．Y．Wu和M．B．Cozzens于1994年，1996年分别引入图的邻域完整度和边邻域完整度概念，于是又出现了一系列研究成果，使网络稳定性研究迈进了一大步。本文在前人工作的基础上，着重研究了邻域场合下图的稳定性，得到一些相关结果，在一定程度上丰富了已有图的稳定性理论。 本文的主要内容是： 第一章绪论部分介绍图的连通性和稳定性方面的研究现状，指出本文研究工作的背景及意义。 第二章集中讨论复合图的邻域完整度，给出了一般情形下复合图邻域完整度的上下界，路状，圈状等特殊复合图的邻域完整度，还纠正了Pinar Dundar的几个错误。 第三章引入图的邻域离散数概念，给出几类基本图的邻域离散数值，并就树的邻域离散数进行较为深入的研究。 第四章主要定义图的边邻域离散数，给出一些基本图的边邻域离散数值，图的边邻域离散数的界，树的边邻域离散数的一个多项式算法。