【摘 要】
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孤子理论是非线性科学的重要分支.其主要研究对象是非线性偏微分方程,研究方向是寻求偏微分方程的精确解.目前,孤子研究方法主要有行波法、达布变换、贝克隆变换、双线性导数法、Painleve分析等等.孤子理论中的孤子,指的是经过色散效应和非线性效应相互作用后平衡产生的一类波形和波速不发生改变的非线性波.由于这种碰撞特性,使得孤子的能量几乎无损,或损耗较慢,达到理想化的效果.而非局域特性是基于PT-对称而
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孤子理论是非线性科学的重要分支.其主要研究对象是非线性偏微分方程,研究方向是寻求偏微分方程的精确解.目前,孤子研究方法主要有行波法、达布变换、贝克隆变换、双线性导数法、Painleve分析等等.孤子理论中的孤子,指的是经过色散效应和非线性效应相互作用后平衡产生的一类波形和波速不发生改变的非线性波.由于这种碰撞特性,使得孤子的能量几乎无损,或损耗较慢,达到理想化的效果.而非局域特性是基于PT-对称而发现的一种效应,其满足某种对称条件.这种模型依赖于函数空间与时间变量,从理论上可得到不同于局域方程的孤子.本文研究了三类具有较强物理意义的非局域模型:光纤通信中描述掺铒光纤中的超短脉冲传播的2+1维非局域CMKdV-MB方程,流体力学和光纤通信中描述涡旋运动和激光同宿轨道的非局域连续型Hirota方程,流体运动中描述非线性波现象的非局域离散型Hirota方程.基于Lax对和达布变换方法,利用符号计算求得了方程的对称非破缺和破缺精确解.另外,运用数学软件Mathematics绘制出对应于精确解的图像,并分析了其在光纤通信、流体力学等方面的传播过程与传播特性.下面就所研究的非局域非线性发展方程的精确解作出简要说明:1.对称非破缺精确解:（1）周期解,是一类在空间或时间上呈现周期性的线性结构,多次迭代后两个周期结构也会相互叠加;（2）孤子解,是一类在空间或时间上稳定传播的孤子结构,可以分为固态孤子和行波孤子.固态孤子指的是沿空间或时间变量平行传播的孤子,行波孤子指的是与变量呈一定角度稳定传播的孤子,并且每个孤子都有两种可能的形状,即亮孤子或暗孤子;（3）复杂解,是一类在空间或时间上表现出局域周期性震荡的非线性结构,同样也会分为亮孤子与暗孤子;（4）振荡型与奇异型孤子解,是一类沿空间或时间周期振荡且振幅不定的非线性结构,其振幅在某种条件下出现奇异点,形成奇异型孤子;（5）束缚型孤子解,是一类孤子间相互吸引和相互排斥不断交替出现的周期性结构,伴随着每次相互吸引都会出现振幅突然增加的现象.此时,非局域方程满足PT-对称条件,势函数和自感应势函数均呈现稳定的对称结构.2.对称破缺精确解:是一类在空间与时间变量上非稳定的传播结构.虽然非局域方程本身满足PT-对称条件,即自感应势函数是稳定的对称结构.但发现,当Lax对特征值满足某一条件时,虽然自感应势函数稳定传播但势函数不再稳定传播,取而代之的是振幅指数级的上升或下降,能量也发生了极大变化.
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