工业、娱乐、教育等产业对数字几何的运用日益增多,推动了数字几何建模和分析快速发展。数字几何模型的获取和建模方式越来越呈现多样化,但常见的大致有两类:一类是从真实物体出发,借助三维扫描装置,自动重建物体的三维模型;另一类是参考真实物体,从零开始,交互式地创造全新的三维概念模型。后者常见于计算机辅助设计、游戏动漫角色和场景设计等,其通过在三维空间中勾画一组三维参数曲线来表示物体的抽象模型,我们将这种模型的抽象称为三维曲线网络。在此基础上,本文研究了从三维曲线网络自动生成三维曲面的方法。数字几何模型的一些应用,例如形状匹配、参数化、纹理贴图、重网格化等,依赖于数字几何分析,尤其是几何模型分割。具有“语义”意义的分割一直是几何模型分割的难点,大部分研究依赖于几何的形状描述,分割效果参差不齐。从几何的角度上看,符合语义的分割,一般指每个分割区域是同质的(homogeneous),既区域内所有的点的几何属性(如曲率)相近,同时,不同分割区域间在相邻的边界处又很不同。针对带语义的分割需求,本文提出了两种分割算法,一种是全自动算法,另一种是交互式的方法,可以满足用户的不同需求。论文的创新点包括:1.一种新的从三维曲线网络生成三维曲面的算法:如何从三维曲线网络生成三维曲面是计算机图形学的经典问题。与以往大多数方法不同,本文方法生成的曲面没有任何限制/约束,可以是流形(manifold)或者非流形曲面,也可以具有任意亏格(genus)的拓扑结构。算法的新颖之处在于将该问题的解看成一个路径系统(routing system),转化问题为求解网络中每个节点和每条边的局部映射。路径系统与线圈集一一对应,节点沿着路径方向依次访问各边,并回到原点即构成闭合线圈(cycle),对所有闭合线圈进行曲面化即生成三维曲面。得益于路径系统的局部独立性,算法允许实时地修改节点和边的局部映射,调整局部结果。与现有方法相比,本文算法更快、更精确且可生成更一般的几何和拓扑。2.基于特征线的三维网格分割:网格上显著特征线一般是不同区域间的边界,因此网格分割的边界与特征线对齐时,更加符合“语义”分割要求。不同于谱聚类(spectral clustering)等分割方法需要用户输入类数,本文推广无参数的关联聚类(correlation clustering)算法,对构造的带负权重图进行分割。本文利用定义于网格的各向异性度量来计算网格边的长度,做为正权重边,然后获取网格的特征线,根据特征线的特征强度来定义负权重边。本文设计迭代最小割算法来求图的最小权重割,与通用的关联聚类相比,本文算法更高效,且两者准确度相近。3.基于各向异向测地线的交互式三维网格分割:交互式网格分割方法需要在精确性和易用性之间平衡,大部分方法要么允许用户简单快速的分割,但是未能精确控制分割边界,要么达到精确性却过于耗时。本文的方法受启发于交互式图像分割经典工具live-wire,既用户在模型上依次选择若干个点,算法自动生成相邻点的路径。所有的路径构成模型的分割边界线。本文定义分割线为一种新的张量描述的各向异性度量的测地性,其改进了其他度量的稳定性和特征敏感性。同时,根据原欧氏度量的测地线算法,本文提出一种新的基于嵌入网格(mesh embedding)的简单高效地求各向异性测地线的算法。该工具特别适合于勾勒与特征或者曲率方向对齐(align)的分割线。通过实践表明,本文方法可在非常小的时间代价下达到精确分割。