对给定的正整数k，连通图G的一棵支撑树T满足△(T)≤k被称为图G的一棵k-树．对给定的连通图G，确定极小可能的正整数k使得G包含一棵k-树，即所谓度限定的支撑树问题．该问题作为图因子(即支撑子图)问题的一部分(即[1，k]-因子)，长期以来受到人们的广泛关注．本文是在笛卡儿积图和直积图上研究度限定的支撑树问题． 在第一章中，我们首先介绍了图因子问题，进而介绍了本文的研究背景和我们的主要结果．图因子问题是图论中一个经典问题，其历史可追溯到1891年Petersen[16]有关图可二因子化的重要论文，其后又有Hall，Konig，Tutte，Lovász等人做出了大量广泛而深刻的结果．图因子问题也是离散数学中非常活跃，广受关注的研究方向之一．早在上世纪70年代，Gavey和Johnson[8]就已经证明确定图中k-树存在性的问题是NP-hard的．因此，给出图含k-树的充分条件是很有意义的．事实上，Chvátal和Erdos在1972年[6]证明了每个满足条件|G|≥3且K(G)≥α(G)的图G都有Hamilton圈．因此，图G就有一条Hamilton路T作为其支撑树．此时，△(T)≤[α(G)/k(G)]+1=2．这使得人们猜测K=[α(G)/k(G)]+1可能就是一般连通图的K-树中K的最小上界．Jackson和Wormald，Neumann-Lava和Rivera-Campo分别在1990年[11]和1991年[15]用不同的方法证明了上述猜想，他们证明每个连通图G都有一棵([α(G)/k(G)]+1)-树．他们还举例说明这个上界对一般的连通图而言是紧的．本文中，我们在笛卡儿积图和直积图上进一步研究度限定的支撑树问题，并改进了他们的上界． 第二章我们研究笛卡儿积图上度限定的支撑树问题．设G<,1>和G<,2>是两个图，我们记G<,1>和G<,2>的笛卡儿积为G<,1>□G<,2>，其中V(G<,1>□G<,2>)：=V(G<,1>)×V(G<,2>)，并且(u，v)与(u’，v)在G<,1>□G<,2>中相邻当且仅当u=u’且v与v’在G<,2>中相邻，或者v=v’且u与u’在G<,1>中相邻．设T是一棵树且u ∈V(T)．对一个给定的正整数k≥△(T)，我们定义函数f<,T>(u，k)：=k-d<,T>(v)为 v在T上对k的亏，F<,T>(k)：=∑<,v∈V(T)>f<,T>(u，K)为树T对K的亏．设G<,i>是连通图，T<,i>是G<,i>的一棵k<,i->树(i=1，2)，其中|G<,2>|≥3并且k<,2>≥k<,1>．我们证明，如果F<,T<,1>>≥K<,2>，则G<,1>□G<,2>有棵K<,1>-树；否则G<,1>□G<,2>有棵K<,2>-树．进一步的，我们证明，如果|T<,1>|≥K<,2>-K<,1>+1那么G<,1>□G<,2>就有一棵K<,1>-树．设G是一个连通图且|G|≥3，又设r是一个实数满足r．k(G)≥δ(G)且α(G)≥2r．我们证明G□G有一棵([α(G)/k(G)]+1)-树，并且α(G□G)/k(G□G)>α(G)/k(G)．另外，我们还通过一些例子说明我们的上界优于已有的上界. 第三章我们研究直积图上度限定的支撑树问题．我们记G<,1>和G<,2>的直积为G<,1>×G<,2>，其中V(c<,1>×G<,2>)：=V(G<,1>)×V(G<,2>)，并且(u，v)与(u’，v’)在G<,1>×G<,2>中相邻当且仅当u与u在G<,1>中相邻，同时v与v’在G<,2>中相邻．设G<,1>是一个包含奇圈的连通图，G<,2>包含Hamilton路且有偶数个顶点．我们证明，如果G<,1>有棵k-树，则G<,1>×G<,2>就有一棵(k+1)一树．更进一步，如果G<,1>有棵k-树T使得T+uu包含一个奇圈(uu’∈E(G<,1>)E(T))，其中u，u’∈V(T)满足d<,T><Δ(T)且d<,T>(u’)<△(T)，那么G<,1>×G<,2>就包含一棵k-树．我们还证明，如果G是一个非Hamilton图，满足G包含奇圈且δ(G)≥1，并且有某个正整数n使得n．k(G)≥δ(G)，那么α(G×P<,2n>)/k(G×P<,2n>)>α(G)/k(G)+1．另外，我们通过一些例子说明我们的上界优于已有的上界．