上世纪二十年代,芬兰著名的数学家Rolf.Nevanlinna推广了早期Picard,Borel在整函数方面的工作.通过引进亚纯函数的特征函数,他建立了第一基本定理和第二基本定理,开始了值分布理论的研究.值分布论是上世纪最重大的数学成就之一,对数学的其它分支产生了重大的影响.为了纪念他的杰出贡献,值分布论又被称为Nevanlinna理论.近一百年来,Nevanlinna理论不断完善与发展,至今已被广泛应用到其他复分析领域,如亚纯函数唯一性,复微分方程,正规族,复差分方程以及复动力系统等.Nevanlinna理论对复微分方程的亚纯解的存在性和其他解析性质的研究起到了极大的促进作用,成为了研究复微分方程的有力工具.尤其是,对数导数引理在该领域的研究中起着至关重要的作用.近年来,Nevanlinna基本理论的差分形式在[1,2.3]中分别被Halburd-Korhonen,Chiang-Feng建立起来.利用这些理论,一些数学家开始考虑研究复域上的差分多项式,差分方程以及微分差分方程,并产生了许多好的结果[4,5,6,7,8].本文运用Cartan第二基本定理研究了一类复微分差分方程的亚纯解的存在性,增长性以及解的形式等问题,论文的结构安排如下:第一章:简单介绍了 Nevanlinna理论和差分Nevanlinna理论的基本知识和经典结果.第二章:主要研究了下列非线性微分差分方程fn（z）f（k）（z）+p（z）f（z+η）=H0（z）+（?）Hj（z）eωjzq的亚纯解的存在性和增长性.其中,n,m,q,k是正整数,p（z）是一个多项式,η是一个有穷复数,w1,w2,…,wm是两两不同的非零复数,H0（z）,H1/（z）,…,Hm（z）是增长级小于q的整函数且满足H1（z）H2（z）…Hm（z）（?）0.我们得到了几个结论,推广了前人相应的结果.当p（z）≡0时,我们证明了如下结论:定理2.5.设n,m,q,k是正整数,w1,w2,…,wm是m个两两不同的非零复数,Hj（z）（0≤j≤m）是增长级小于q的整函数且满足H1（z）H2（z）…Hm（z）（?）0.设f（z）是微分方程fn（z）f（k）（z）=H0（z）+（?）Hj（z）eωjzq的整函数解,则下列两种情形成立:（i）当H0≡0时,我们有两种可能:（1）m=1,f（z）=u（z）eω1zq/n+1,这里 T（r,u）=S（r,f）.（2）λ（f）=ρ（f）=q 和 n＜m.（ⅱ）当 H0（?）0 时,我们有λ（f）=ρ（f）=q 和 n ≤m.当p（z）（?）0,H0（z）三0时,我们证明了如下结论:定理2.8.设n,m,q,k是正整数且n ≥ 2,p（z）是一个非零多项式,η是一个有穷复数,ω1,ω2,…,ωm是两两不同的非零复数,H1（z）,H2（z）,…,Hm（z）是增长级小于q的整函数且满足H1（z）H2（z）…Hm（z）（?）0.如果f是微分差分方程fn（z）f（k）（z）+p)（z）f（z+η）=H1（z）eω1zq+H2（z）eω2zq+…+Hm（z）eωmzq的超级ρ2（f）＜1的亚纯解,则.f是一个超越整函数.下列两种情形成立:（ⅰ）m=2,f（z）=H1（z-η）/p（z-η）eω1（z-η）q=L（z）eω1zq,ω2=（n+1）ω1.其中（?）L（z）=H1（z-η）/p（z-η）eω1M（z）,#12（ⅱ）λ（f）=ρ（f）=q 和 n ≤ m+1.当p（z）（?）0,H0（z）（?）0时,我们证明了如下结论:定理2.9.设n,m,q,k是正整数且n ≥ 2,p（z）是一个非零多项式,η是一个有穷复数,ω1,ω2,…ωm是两两不同的非零复数,Hj（z）（0≤j ≤m）是增长级小于q的整函数且满足H0（z）H1（z）…Hm（z）（?）0.如果f是微分差分方程fn（z）f（k）（z）+p（z）f（z+q）=H0（z）+（?）Hj（z）eωjzq的超级ρ2（f）＜1的亚纯解,则f是一个超越整函数.此时,我们有λ（f）=ρ（f）=q 和 n ≤ m+2.第三章:全文总结和展望.