在二十世纪后半叶,利用小波变换对不同维数的信号和图像等进行分析已经成为一种很重要的方法.然而小波变换方向选择性少,在表示图像的直线或者曲线奇异性结构时,并不是最优的,无法获得较好的稀疏表示.直到2007年,Guo等人采用具有合成膨胀的仿射系构造了一种接近最优表示的多维函数-Shearlet.Shearlet继承了曲波变换和轮廓波变换的平移不变性和方向选择性多的优点.通过对基函数进行缩放,剪切和平移等仿射变换,它可以生成具有不同特征的剪切波基函数.对于二维信号,剪切波变换不仅可以检测到所有的奇异点,而且还可以自适应跟踪奇异曲线的方向,且随着尺度参数变化,可精确描述函数的奇异性特征,从而获得了更好的图像稀疏表示能力.离散小波变换可以用作对可视化不稳定波形的时域进行信号处理的工具.M.W.Frazier在他的著作中对一维离散小波基的性质和构造进行了深入的研究.在此基础上本文通过对二维离散傅里叶变换性质的研究,将l~2(Z)上的离散正交小波基推广到了二维,构造了Z~2上的一类离散剪切波,同时使用时频分析,矩阵,算子理论等工具对Z~2上离散剪切波的性质进行了研究,并提出了利用该剪切波构造l~2(Z~2)上单层和多层Parseval框架的算法.在二维数据中,离散的正交小波基或框架虽然可以对一般信号序列进行很好的表示,但是它们对于各种含有奇点的二维数据如图像去噪,边缘处理以及矩阵的稀疏表示,图像压缩等不能进行有效的处理,于是我们将传统的Parseval框架与剪切因子结合,利用剪切波构造出一个含有方向的Parseval框架,从而可以对图像的压缩,去噪进行处理.在此基础上,我们可以利用张量积的方法将此框架扩展到更高维,从而可以对更高维的数据进行处理.第一章简要介绍框架和剪切波的背景知识及论文的主要内容和相关结构.第二章引出全文用到的关于L~2(R~2)上框架的概念,剪切波的概念和空间l~2(Z~2)以及L~2([-π,π)2)的一些基本的性质和结论.第三章讨论了空间l~2(Z~2)上的一些算子及其基本性质,为构造Z~2的剪切波以及l~2(Z~2)上的单层和多层Parseval框架提供基础.第四章构造了空间l~2(Z~2)上的单层Parseval框架以及多层Parseval框架.第五章根据第四章的条件构造出序列空间l~2(Z~2)上的二维Parseval框架.