等距是空间理论和算子理论中非常重要的研究对象之一。线性对一个算子来说是很重要的一个性质。Mazur-Ulam 定理给出了线性和等距算子之间的关系。在1.1 节中我们介绍了研究 Mazur-Ulam 定理的背景和历史。在1.2节中我们主要研究了Mazur-Ulam 定理在一般的距离空间以及等距算子非满的情况下成立的条件。Vogt 将 Mazur-Ulam 定理中的等距算子换成了保持距离等式算子，给出了类似的结论。在本节最后，我们给出了—个关于Vogt的结论的推广形式。 P．Mankiewicz 曾经得到这样的一个结论：设E和F都是赋范空间，A和B分别是E和p上的连通子集。若B是开的，而且等距算子V<,0>：A→B是满的时，则V<,0>可以被延拓到全空间，而且延拓算子是仿射的。 D．Tingley 则提出了以下这个问题，他把研究对象限制在了赋范空间的单位球面上。设E和F都是赋范空间，S(E)和S(F)分别是E和F上的单位球面．若V<,0>：S(E)→S(F)是满等距算子，那么是否存在一个线性等距算子V:E→F使得V|s(s)=V<,0>? 在2.1节中我们列举了大部分关于Tingley问题的结论。虽然我们已经得到了这么多的肯定结论，但是对于Tingley问题是否对一般的赋范空间都成立还没有被解决。 在2.2节中我们考虑的是2-维严格凸空间的情况．在此节中我们用不同的方法给出了等距算子V<,0>具有线性等距延拓的充分条件．在此节最后给出了几个例子，其中包括了非严格凸空间。 在2.3节中我们仍然考虑 2-维赋范空间．只是在此节中像空间不再要求是2- 维的赋范空间。而且两个空间也不再要求是严格凸的．在这些假设条件下，我们用一种新的方法给出了V<,0>具有线性等距延拓的充分条件。 在2.4节中我们用另一种方法证明了方习年和王建华的结论，设 E 是任意的赋范空间，V<,0>：S(E)→S(l<1>)是满等距．那么V<,0>具有线性等距延拓。 在第三章我们考虑另一种延拓问题。J．Lindenstrauss and A．Pelczyinski 证明了。对任意的ε>0。以及任意的算子T：E→(K)，其中E是c<,0>的一个子空间，都有算子T′:c<,0>→C(K)使得‖T′‖≤(1+ε)‖T‖且T′|=T.由此引出了两个概念λ-into-C(K)延拓性质(简写为λ-EP)和λ-一致延拓性质(简写为λ-UEP)．D.Speegle 引进了一个新的概念带常数α的性质A．并且得到了如下定理:设E具有带常数α的性质A，ε<1+a/1-a．则E不具有(1+ε)-UEP．而且，存在空间X，使得E是X的1-可补子空间，并且(E，X)不具有(1+ε)-EP．Speegle还得到了下面的结论，如果X是一个无穷维的可分的一致光滑的Banach空间，则X具有带常数α的性质A。 在3.2节，我们给出了—个无穷维可分Banach空间具有带常数α的性质A的充分条件．而且给出了关于Speegle的断言的证明。