【摘 要】
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本文研究一类分数阶非线性Schr(?)dinger方程组非平凡解的存在性问题,方程组如下所示:(―△)s1u+V1(x)u = f1(u)+λ(x)v,x ∈Ω,(-△)s2v+V2(x)v=f2(v)+λ(x)u,x ∈Ω,u=0,v =0,x∈RNQ.其中,(-△)s为分数阶拉普拉斯算子,0<s1,2<1,N>2.势能V1,V2在上有正的下界和上界.耦合函数λ:RN→满足:|
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本文研究一类分数阶非线性Schr(?)dinger方程组非平凡解的存在性问题,方程组如下所示:(―△)s1u+V1(x)u = f1(u)+λ(x)v,x ∈Ω,(-△)s2v+V2(x)v=f2(v)+λ(x)u,x ∈Ω,u=0,v =0,x∈RN\Q.其中,(-△)s为分数阶拉普拉斯算子,02.势能V1,V2在上有正的下界和上界.耦合函数λ:RN→满足:|λ(x)|≤δ(?),δ∈(0,1).非线性项fi,f2满足次临界增长条件.本文研究了 为有界域和RN时,该方程组非平凡解的存在性问题.全文结构如下:第一章,首先介绍本文所涉问题的研究背景和研究现状,然后介绍了本文研究的内容和主要结论.第二章,介绍本文所需要的基础知识,包括分数阶Sobolev空间理论和分数阶拉普拉斯算子的相关知识,以及变分法理论的基础知识.第三章,在Ω为有界区域的情况下,我们采用了Cerami序列版本的山路引理,得到了原方程组的一个Cerami序列,并验证了所得到的Cerami序列的有界性.进一步,我们利用有界域上Sobolev嵌入的紧性,得到了原方程组的一组非平凡弱解.第四章,在Ω为全空间的情况下,我们利用集中紧性原理,研究了原方程组非平凡解的存在性问题,得到了原方程组的一组非平凡弱解.第五章,主要介绍本文研究问题的一些展望,主要涉及到非线性项的增长条件,势能函数的种类,方程定义的区域和解的正则性.
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