微分代数系统是一类具有普遍性且能够精确刻画现实运动的系统模型。该系统大量存在于电力系统、受限机械系统、计算机辅助设计、机器人系统和化学工程等复杂系统中。其中，微分方程刻画了系统的动态行为，而代数方程描述了系统在运行过程中必须遵循的一些约束，如能量守恒和运动限制等。正是这种独特的结构特性决定了微分代数系统不同于常微分方程系统的奇异性和复杂性。由于保群算法既能良好地刻画微分方程的解，又能在每步迭代中保持微分方程的几何结构和不变量，因而保群算法的提出，为微分代数系统的数值求解提供了一种新的途径。保群算法是李群算法中的一种，而李群算法又隶属于保结构算法。保群算法是一种结构简单又容易实现的数值计算方法。尽管该算法已经在很多领域取得了成功的应用，但也存在一些不足之处，如精度不够高、收敛性理论不完善等。因此探索可行的高精度保群算法是一个值得研究的重要问题。本文的研究内容涉及保群算法的理论、算法和应用三个方面。本文首先研究了保群算法的理论，然后基于此理论提出了单约束微分代数系统的保群校正算法和多约束微分代数系统的分块保群校正算法。为了将改进的保群算法应用到混沌系统的控制领域中，还提出了两种基于传统控制方法的保群算法，均取得了较好的数值实验结果。　　本研究主要内容包括：⑴针对单约束的微分代数系统，提出了一种较高精度的保群校正算法。该算法结合了欧拉方法和保群算法。首先将动力系统的构形空间拓展到Minkowski空间，使得原非线性动力学方程在Minkowski空间可以变形为增广的动力学系统的一个李型方程。然后利用欧拉方法改变李型方程中李代数的取值，从而对保群算法进行了校正。最后再调节引进的积分因子，迫使得到的解能够精确地保持在约束流形上。这种算法既能提高解的精度，又能在每步迭代中保持微分代数系统的固有性质和不变量，因而比传统数值方法更加精确、稳定和有效。⑵针对多约束的微分代数系统，提出了一种较高精度的分块保群校正算法。基于分块的思想，本文首先根据代数方程的个数m，将微分方程分成相应的m块。然后对每一块分别采用保群校正算法。最后再调节引进的m个积分因子，迫使得到的解能够精确地满足m个代数约束。该方法既能够得到方程的高精度解，又能使解更好地满足多个代数限制。另外本文还给出了分块保群算法的两个必要条件。⑶提出了一种基于快速下降控制方法的保群算法，能够使受控混沌系统快速收敛到相空间的某一个不动点。为了消除传统控制方法中容易出现的抖振现象，该方法首先直接指定一个时间衰减的拉格朗日函数，将非线性系统的最优控制问题转化成一个微分代数系统。然后利用改进的保群算法来求解这个微分代数系统，从而可以有效地保持受控混沌系统的稳定。最后应用这种新方法分别对三个经典的混沌系统(Lorenz系统、Chen系统和Lü系统)进行了数值实验。实验结果表明这种方法具有较高的精度和稳定性。⑷提出了一种基于滑模控制方法的保群算法，能够使受控混沌系统快速跟踪某一确定的运动轨迹。由于动力系统中的数值离散化误差、信号噪声和结构不稳定性等原因，传统滑模控制方法并不一定能够保证系统状态在设计的滑动面上。因此本文改进了传统的滑模控制方法，并用改进的保群算法来求出控制力，从而精确保证系统状态在设计的滑模面上，而且很好地解决了传统方法的抖振问题。应用这种新方法对一个经典的混沌系统(Duffing系统)进行了数值实验。实验结果表明这种方法具用较高的精度和稳定性。