【摘 要】
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物理上分数阶拉普拉斯算子被称为分数阶扩散通量,用于刻画列维飞行下粒子长距跳跃的反常扩散过程,它已经成为近十年来分数阶偏微分方程的研究热点.目前关于这类算子的数值方法有两个重要挑战:处理超奇异核和求解无界区域下的积分.因此本文主要研究如下几个方面的课题:1.对分数阶拉普拉斯算子采用Caffarelli-Silvestre延拓技巧,将非局部问题局部化,构造有限元格式并考虑相应的稳定性和误差估计;2.针
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物理上分数阶拉普拉斯算子被称为分数阶扩散通量,用于刻画列维飞行下粒子长距跳跃的反常扩散过程,它已经成为近十年来分数阶偏微分方程的研究热点.目前关于这类算子的数值方法有两个重要挑战:处理超奇异核和求解无界区域下的积分.因此本文主要研究如下几个方面的课题:1.对分数阶拉普拉斯算子采用Caffarelli-Silvestre延拓技巧,将非局部问题局部化,构造有限元格式并考虑相应的稳定性和误差估计;2.针对主值积分采用相应的Hadamard有限部分积分,构造有限元格式并分析求解.本文主要围绕带分数阶拉普拉斯算子的Caputo型发展方程的有限元方法展开研究,主要分为以下几个部分:第一章通过一维变量下随机游走扩散模型直观地描述微观粒子运动过程,体现了分数阶拉普拉斯算子的物理意义,导出柯西主值分数阶拉普拉斯算子的数学定义.第二章首先介绍Caffarelli-Silvestre延拓思想,其次介绍第二类修正B essel函数的相关性质,最后分析了延拓技巧下解的衰减性.第三章对分数阶拉普拉斯算子采用延拓技巧,时间离散采用Diethelm方法,考虑加权椭圆投影算子的误差估计,构造有限元全离散格式并分析了有限元误差估计,数值算例验证了理论分析结果.第四章证明了时间分数阶导数与其有限部分积分的等价性,考虑了空间分数阶拉普拉斯算子的有限部分积分,建立有限元格式求解,数值结果验证了格式的有效性.第五章考虑了长时间积分下时间分数阶导数在加权空间的几个性质,空间方向考虑有限元方法,研究了其长时间积分.
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