【摘 要】
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图的谱理论是图论的重要研究领域之一,其核心是通过相关图矩阵的代数性质刻画图自身的结构特征,研究图的结构参数与图谱参数之间的内在联系.本文主要研究混图的谱参数（包括H-秩、Hermitian能量、特征多项式等）,结构参数及其相关问题.具体研究内容如下:●在第二章中,我们首先利用混图的秩与子图结构的关系,确定给定最大度数条件下n阶混图的零度的上确界,以及达到上界的极图结构.其次,考虑混图DG的H-秩r
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图的谱理论是图论的重要研究领域之一,其核心是通过相关图矩阵的代数性质刻画图自身的结构特征,研究图的结构参数与图谱参数之间的内在联系.本文主要研究混图的谱参数（包括H-秩、Hermitian能量、特征多项式等）,结构参数及其相关问题.具体研究内容如下:●在第二章中,我们首先利用混图的秩与子图结构的关系,确定给定最大度数条件下n阶混图的零度的上确界,以及达到上界的极图结构.其次,考虑混图DG的H-秩rH（DG）与底图匹配数、独立数之间的关系,并分别建立rH（DG）+α（G）,rH（DG）-α（G）,rH（DG）/α（G）的上下界,其中 α（G）为图G的独立数.最后借助mixed Kronecker积刻画混图的Hermitian能量关于H-秩的上界及其对应的极图.●在第三章中,我们首先建立混图的Hermitian能量与匹配数之间的关系式εH（DG）≥2α’（G）,并通过排除图结构和switching变换刻画所有使得εH（DG）=2α’（G）成立的混图.其次,我们探讨混图的Hermitian能量关于点覆盖数的上下确界,同时给出下界成立的充要条件,并证明上界是最好的.以上结果拓展了[Tian et al.Discrete Appl.Math.222（2017）179-184],[Wang et al.Linear Algebra Appl.517（2017）207-216]和[Wong et al.Linear Algebra Appl.549（2018）276-286]中的主要结论.●在第四章中,我们主要利用线性混图和嵌入等图结构研究赋权混图.首先对赋权混图的特征多项式系数进行阐述,并建立赋权混图特征多项式的递归关系.这些结果自然地推广了[Hou et al.Electron.J.Combin.18（1）（2011）156],[Gong et al.Linear Algebra Appl.436（2012）3597-3607]和[Liu et al.Linear Algebra Appl.466（2015）182-207]中的部分结论.其次,对赋权二部仙人掌混图DG,我们给出rH（DG）=2t（t≤α’（G））成立的充要条件,并利用该结果研究赋权二部仙人掌混图的最小H-秩问题.●在第五章中,我们用统一方法研究混图和T-gain图的Aα-特征值重数.首先借助特殊子图的Aα-特征值重数,证明任意实数作为Aα-特征值的重数的上界,并刻画使得等式成立的图结构.此外,结合全局标号法以及代数技巧,我们考虑α本身作为Aα-特征值的重数的情况,并找到一类图使得以其中任意给定的图为底图的混图（或者T-gain图）,α作为Aα-特征值的重数是相同的.通过这些结果,可以推导出无向图,有向图,符号图以及邻接谱,拉普拉斯谱,无符号拉普拉斯谱中的相应结论.●在第六章中,我们总结本文的主要研究内容,并提出进一步研究的问题.
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