图的控制数是图的基本的不变量之一,也是反映网络性能的一个参数.图的约束数是指让图的控制数增大所需删除的最少边的数目.它能衡量在通信线路发生故障情况下互联网络脆弱性.然而,图的控制数和约束数的计算已经分别被证明是NP-完全和NP-困难问题.许多学者都致力于图的最小控制集与最小约束边集的结构和性质的研究,以及计算特殊图类的控制数与约束数的精确值或者给出它们界.一般来说,计算一个图的约束数比计算其控制数更为困难.本论文的研究内容包括树的控制问题和强乘积图的约束数.其中,对树控制问题的研究又为强乘积图约束数的计算提供一定的理论支撑.本文共分为五章.第一章首先介绍一些本文用到的基本概念和记号.然后分别介绍树的构造与刻画和乘积图约束数的研究背景,问题的提出以及研究进展.最后介绍本文所得到的主要结果.在第二章中,根据与最小控制集的关系,我们把图的顶点可分为普遍点、空白点和可变点三类.（图的普遍点是指属于图所有最小控制集的点,空白点是指不属于图任何最小控制集的点,可变点是指既不是普遍也不是空白的点.）我们通过定义了9种图的操作分别给出了仅包含可变点,仅包含非普遍点和仅包含非可变点的树的构造.在第三章中,我们给出了一棵树的约束数为2的一个充分条件和一个充要条件：如果树T的顶点数至少为3且它的所有顶点都是可变的,那么T的约束数为2；非平凡树T的约束数为2当且仅当T的所有γ-可孤立点构成T的一个最大2-填充,（图的一个顶点被称为是γ-可孤立点,如果去掉该点后图的控制数恰好减少1）.另外,我们还得到了一个图和一棵树的强乘积图最小控制集的一些性质.在第四章中,我们得到两条路的强乘积图约束数的精确值.即,对任意两个正整数m≥2和讫≥2,若（r（m）,r（n））=（1,1）或（3,3）则b（Pm（?）Pn）=7-r（m）-r（n）；否则b（Pm（?）Pn）=6-r（m）-r（n）其中,r（T）是一个关于正整数t的函数,定义为r（t）=1若t≡1（mod 3）；r（t）=2若t≡2（mod 3）；r（t）=3若t三0（mod 3）.在第五章中,我们得到一个完全图与一条路的强乘积图约束数的精确值.即,对任意两个正整数m≥1和n≥2,有b（Km（?）Pn）=[m/2]若n≡0（mod 3）；m若n≡2（mod 3）；[3m/2]若n≡1（mod 3）在这个结果的基础上,我们进一步得到了一个完全图和一类特殊的星状树的强乘积图约束数的精确值.在第六章中,我们给出了一些在不同条件下一个非空图与一棵树的强乘积图约束数的上界.并且引用第五章的结果作为例子,指出我们所得到的上界都是紧的.