【摘 要】
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拉普拉斯矩阵是图的一种矩阵表示,众多基于图方法的应用问题,如聚类、组合优化等,都与相应的拉普拉斯矩阵特征值问题密切相关,这类问题在社交网络分析、图分割和复杂网络等领域发挥着越来越重要的作用.产生于这些实际问题的拉普拉斯矩阵往往因为规模庞大而使得相应的特征值问题求解困难,因此针对大规模拉普拉斯矩阵特征值问题的快速算法研究具有重要意义.本文研究内容主要包括两部分.第一部分研究非连通图对应的拉普拉斯矩阵
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拉普拉斯矩阵是图的一种矩阵表示,众多基于图方法的应用问题,如聚类、组合优化等,都与相应的拉普拉斯矩阵特征值问题密切相关,这类问题在社交网络分析、图分割和复杂网络等领域发挥着越来越重要的作用.产生于这些实际问题的拉普拉斯矩阵往往因为规模庞大而使得相应的特征值问题求解困难,因此针对大规模拉普拉斯矩阵特征值问题的快速算法研究具有重要意义.本文研究内容主要包括两部分.第一部分研究非连通图对应的拉普拉斯矩阵零特征空间与图连通分量的关系并给出相关理论证明,设计基于零特征空间的图连通分量分割算法,并通过数值实验验证该算法的可行性;在此基础上还通过数值实验探究非零特征值及其相应特征向量在弱连接连通图分割上的应用.第二部分研究连通图对应的拉普拉斯矩阵几个最小正特征值及其相应特征向量的快速求解算法,本文结合Deflation,Trimming和预处理等技巧设计了高效的位移求逆残差Arnoldi算法（shift-invert residual Arnoldi,简称SIRA）;通过大量数值实验确定最佳Trimming索引选取策略;对迭代过程中出现的大规模线性方程组分别运用预优共轭梯度（PCG）和极小残差法（MINRES）等方法求解,并比较Jacobi,SSOR,iLDLT和多网格组合型预处理（Combinatorial MultiGrid,简称CMG）等四种预处理的实验结果确定最佳预优算子为CMG;最后在数值实验中将SIRA与其他两种已有算法进行比较以验证所提算法的高效性.本文所提算法对基于图方法的聚类等问题具有重要实用价值.
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