【摘 要】
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张量特征值的研究在超图谱理论,张量成像,物理和机械,量子计算等应用数学的诸多领域起着日益重要的作用.众所周知,矩阵特征值最直接的计算方法是求解相应特征多项式的根.同样地,对张量特征多项式的研究有助于我们对张量特征值的本质进行理解.但是,一个3阶3维张量特征多项式的直接表达式超过了20,000项,这样的多项式表示并不能对张量特征值进行有效的分析.从而,如何分析并给出简洁高效的张量特征多项式表达式是张
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张量特征值的研究在超图谱理论,张量成像,物理和机械,量子计算等应用数学的诸多领域起着日益重要的作用.众所周知,矩阵特征值最直接的计算方法是求解相应特征多项式的根.同样地,对张量特征多项式的研究有助于我们对张量特征值的本质进行理解.但是,一个3阶3维张量特征多项式的直接表达式超过了20,000项,这样的多项式表示并不能对张量特征值进行有效的分析.从而,如何分析并给出简洁高效的张量特征多项式表达式是张量特征问题研究中的一个重点.本文利用张量特征多项式和高阶迹的相关理论,分析了张量特征多项式基于单个矩阵的行列式的特征多项式符号表示方法.根据多种优化化简准则,计算出对应于给定张量特征多项式的符号表示的映射矩阵的行列式,并给出长度适宜的3阶3维张量特征多项式的精确表达式.由此符号表达式和张量高阶迹计算原理,本文同时求解出3阶3维张量的三阶和四阶迹的符号表达式.基于张量特征值同张量特征多项式、高阶迹之间存在的符号表示关系,本文计算得到的特征多项式和高阶迹的符号计算式为3阶3维张量特征值的直接计算提供了有力工具.同时,它们也有助于促进张量谱理论分析和谱半径计算等相关领域的研究.
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