1748年Euler建立了整数分拆的一个生成函数，基本超几何级数的研究由此开始。此后，Gauss、Heine、Rogers、Ramanujan、Watson和Slater等数学家做出了很多重要的成果，极大地推动了该理论的发展。近年来，由于美国科学院院士Andrews和Askey等人的研究工作，基本超几何级数又成为一个非常活跃的研究领域。正如Andrews所指出，基本超几何级数已经广泛地应用到了数论、微分方程、组合数学、统计和物理等学科分支。这篇论文的主要结果是关于基本超几何级数理论的一些进展，具体包括基于q-差分算子的参数扩充技巧和基本超几何单边级数的双边扩展方法。　　 第一章简要介绍了超几何级数和基本超几何级数的历史背景，并引进了本论文中所要用到的基本定义和记号。为了便于论文正文部分的阅读，我们还给出了一些重要的经典基本超几何级数求和公式、变换公式和积分公式。　　 第二章集中讨论了基本超几何级数的参数扩充技巧。q-差分算子最早由Euler引入，而后Rogers、Jackson、Rota和Andrews等数学家都曾经用q-差分算子研究基本超几何级数理论。在1997和1998年，Chen和Liu[42，43]在q-差分算子的基础上构建了两个更有效的q-指数算子，使得很多著名的基本超几何恒等式可以从它们的特殊形式重新导出。他们称这种方法为参数扩充技巧。在这一章我们突破了以前算子理论中单参数的研究，引进了双参数的Cauchy算子T(α，b；Dq)和Cauchy伴随算子E(α，b；θ)，它们分别是q-指数算子T(bDq)和E(bθ)的推广形式。利用这两个算子我们给出了很多基本超几何级数等式更为简洁的证明，并扩展了许多著名的恒等式。为了发挥Cauchy算子在基本超几何级数中的作用，我们利用q-Leibniz法则建立了一些Cauchy算子等式。根据这些算子等式中某些参数的对称性，能够立即得到Heine的2φ1变换公式和Sears的3φ2变换公式。事实上，Cauchy算子有着很多q-指数算子T(bDq)无法比拟的优点，不但可以用来重新导出和推广很多经典的基本超几何求和公式、变换公式和积分公式，而且还特别适用于研究双变元的Rogers-Szego多项式，很自然地得出了相应的Mehler公式和Rogers公式。我们利用Cauchy算子得到的推广形式大部分都是新的结果，许多公式是已知最一般的形式，包含一些著名的恒等式作为其特殊形式，比如Askey-Wilson积分的推广形式同时也包含着Ismail—Stanton－Viennot积分，Askey－Roy积分的推广形式同时也包含着Gasper积分。同样地，Andrews的双项求和式、Sears的双项求和式、Gasper积分、两个Barnes积分的q－模拟等恒等式也都被推广到了最一般的形式。　　 但是当我们用q-Leibniz法则去推导Cauchy伴随算子等式时，会遇到q-二项式定理求和不收敛的情况。Fang在文章[57]中让某些参数取特殊值截断级数使之变成有限项，从而避免了收敛问题。我们则从Dnq算子的一个展开式出发，以一种新的方法建立了并不需要有限项数限制的广义Cauchy伴随算子等式。同样地，Cauchy伴随算子也在基本超几何级数中有着广泛的应用，我们仅举几个代表性的例子。通过比较这两种不同方式导出的Cauchy伴随算子等式，我们直接得到了Jackson变换公式和一个新的3φ2双重和形式展开式。利用Cauchy伴随算子还可以把q-Chu-Vandermonde求和式和Jackson变换公式分别推广到一个3φ2变换公式和另一个新的3φ2双重和形式展开式。　　 第三章着重介绍了基本超几何单边级数的双边扩展方法。Dougall的双边超几何求和式和q-GaUSS求和式分别是Gauss经典2F1求和式的双边扩展形式和q-模拟。一直以来，Bailey、Slater、Gasper和Askey等数学家都在寻找一个封闭的Dougall求和式的q-模拟，或者说封闭的q-Gauss求和式的双边扩展形式。虽然到目前为止还没有找到这样的等式，但是在这过程中他们发现了很多关于2ψ2级数的重要结果。在这一章中，我们由一个3φ2变换公式出发，使用双边扩展方法给出了一个从2ψ2级数到两个2φ1级数的新的变换公式。这个恒等式可以看作是Slater变换公式的一个伴随公式，是已知2ψ2变换公式的重要补充，并且还有着一些很有意义的推论，其中包括一个把2ψ2级数表示成一个和式和一个无穷乘积之和的q-Gauss求和式的双边扩展形式。我们还发现Slater的一个双项2ψ2求和式可以由Andrews的一个单边求和公式先进行双边扩展再应用参数扩充技巧得到。结合这两个2ψ2公式可导出一个很重要的theta函数等式[46，Thm.1.1]。Chu利用这个theta函数等式建立了(q；q)10∞的一个新的展开式，从而给出了Ramanujan模11同余式的一个新证明。　　 Bailey的6ψ6求和式在基本超几何双边级数理论中占据着极其重要的地位，它不但包含很多经典恒等式作为其特殊形式，而且在分拆理论、数论和特殊函数理论中有着很多应用。Chen和Fu在文章[40]中提出了一个问题：“能否找到一个通过直接取极限就可导出Bailey的6ψ6求和式的半有限(甚至有限)形式?”2007年Jouhet在文章[82]中给出了一个这样的半有限形式，部分地回答了这个问题。我们从Bailey的10φ9变换公式出发，利用双边扩展方法首次得到了Bailey的6ψ6求和式的两个有限形式。对这两个有限形式取极限都可以直接得出Bailey的6ψ6求和式，因而圆满地解决了Chen和Fu所提出的问题。最后，我们在附录中列出了一些经典的基本超几何级数求和式和变换公式。