本文基于Mobius变换等距球的性质和作用,得到了四元数Mobius变换g的一个分解g=tfO。利用旋转变换O与对应Mobius变换g的不动点的关系,得到一定条件下四元数Mobius变换的分类。双曲等距映射可分为斜驶元素、抛物元素和椭圆元素三类。缘于其不动点集的多样性,椭圆元素是三类元素中最为特殊的一类,高维双曲轨道流形的性质一般都与此相关。本文将分别得到低维实双曲空间,复双曲空间和四元数双曲空间的椭圆元素的标准形及他们的不动点集的相关性质。本文安排如下:第一章我们介绍了课题的背景知识及我们得到的主要结果内容;第二章主要介绍了本文所要用到的四元数和四元数矩阵基本知识;第三章主要介绍了四元数Mobius变换的一些基本知识,得到了四元数Mobius变换g的一个分解g=tfO,并证明了本文的主要结论;第四章分别讨论了低维实双曲空间,复双曲空间和四元数双曲空间的椭圆元素不动点集的相关情况。给出了四元数双曲空间椭圆元素在Siegel域模型下的一种分类。