旋子模型与Kauffman多项式

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Fran(c)ois Jaeger(1947-1997)是法国著名的组合学家,是链环不变量、结合方案与统计物理模型领域的主要研究者。L.H.Kauffman在文章Combinatorics and topology Fran(c)ois Jaegers work in knot theory中回顾了Fran(c)ois Jaeger有关Homfly多项式的组合模型方面的工作。本文主要以F.Jaeger的文章Strongly regular graphs and spin modelsfor the Kauffman polynomial为基础介绍了Fran(c)ois Jaeger在Kauffman多项式的旋子模型方面的一个工作。从一般旋子模型入手,先要求旋子模型的权重函数满足一些条件,使得其配分函数是链环不变量。利用一般矩阵乘积和Hadamard乘积,可以将权重函数满足的条件用矩阵的形式表示。同时,权重矩阵在两种乘积运算下生成了两个代数,这两个代数是同构的。如果这两个代数结合起来是某一结合方案的Bose-Mesner代数,那么同构说明了这个结合方案是形式上自对偶的。在此基础上,我们进一步要求旋子模型再满足一个方程,使得其配分函数满足Kauffman多项式的性质,而这个方程却使得形式上自对偶结合方案的Bose-Mesner代数至多是3维的。最后,以一些局部强正则图所决定的形式上自对偶结合方案为例,详细地写出Kauffman多项式的旋子模型。本文的目的是理清文章的思路以便阅读,补充一些定理的证明,并指其中存在的一个未解决的问题。
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