【摘 要】
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在无限群论里,剩余有限性质是非常基本的有限性条件,通常该论题主要处理两方面的内容:其一,判断群的剩余有限性,由此理解群的许多“局部”性质;其二,对满足剩余有限性的群,从其有限商群的角度逐步地“逼近”群本身.本文给出了两类多重循环群的精确的剩余有限性质;研究了一类与友矩阵相关的多重循环群的同构问题并给出这类群是超可解或幂零的充要条件;利用有限秩的完全可分齐次无挠Abel群构造了一类无限可解群,给出这
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在无限群论里,剩余有限性质是非常基本的有限性条件,通常该论题主要处理两方面的内容:其一,判断群的剩余有限性,由此理解群的许多“局部”性质;其二,对满足剩余有限性的群,从其有限商群的角度逐步地“逼近”群本身.本文给出了两类多重循环群的精确的剩余有限性质;研究了一类与友矩阵相关的多重循环群的同构问题并给出这类群是超可解或幂零的充要条件;利用有限秩的完全可分齐次无挠Abel群构造了一类无限可解群,给出这类群的剩余有限性质.本文的主要研究内容概括如下:第一部分我们通过有限秩的自由Abel群与其自同构做半直积构造了两类不同构的二元生成的多重循环群,给出这两类群精确的剩余有限性质.设A=＜a1＞⊕＜a2＞⊕···⊕＜an＞是秩为n（n≥2）的自由Abel群,A的自同构群Aut（A）=GL（n,Z）.对整数m,取α,β∈Aut（A）使得取Γm（n）=A（?）＜α＞,Λm（n）=A（?）＜β＞,它们显然都是二元生成的多重循环群.本节基本完全给出了Γm（n）,Λm（n）的剩余有限性质.第二部分我们利用友矩阵构造了形式更一般的多重循环群.A同前所设.取记G=A（?）＜α＞,H=A（?）＜β＞.我们首先给出了这类多重循环群同构的判断方法:若±1不是|λI-β|的根,且|λI-β|或有非单位根或有重单位根,则G（?）H当且仅当α=β或α与β-1相似.接着我们给出了这类多重循环群的超可解性和幂零性的判定方法:（1）G是超可解群当且仅当|λI-α|=（λ-1）i（λ+1）j,i,j∈N,i+j=n;（2）G是幂零群当且仅当|λI-α|=（λ-1）n.第三部分我们把前文中的有限秩的自由Abel群替换为有限秩的完全可分齐次无挠Abel群,构造了一类无限可解群（不一定是多重循环群）.设A是有限秩的完全可分齐次无挠Abel群,即A=Xa1⊕Xa2⊕···⊕X an,其中0（?）X（?）Q是秩为1的无挠Abel群.再记π={p素数|p X=X}.A的自同构群为Aut（A）=GL（n,Qπ）.对整数m,取α∈Aut（A）使得取Θm（n）=A（?）＜α＞.我们给出了这类无限可解群Θm的剩余有限性质.
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