本文讨论分形几何中若干理论和应用问题,主要内容如下:1.分形几何中有许多著名分形集,比如三分Cantor集,Moran集,Sierpi′nski地毯,Sierpi′nski垫圈等,它们是分形几何中的重要研究对象。本文第二章结合双曲几何理论,研究上述分形集的双曲化问题,证明这类分形集与对应的Gromov双曲空间的双曲边界是等距的,从而得到它们的新表现形式。除此之外,本章还证明了对应的Gromov双曲空间是强双曲的,并在任意Ptolemy空间上构造出若干强双曲度量。2.本文第三章结合图论和复杂网络理论,基于给定分形集,构造一个网络序列。本章构造的加权网络序列与原分形集有许多类似的性质,因此可将前者作为该分形集的近似表示。本章研究了加权分形网络的拓扑性质,包括平均加权测地距离,节点强度分布和聚类系数,证明了加权分形网络是小世界和无标度的。3.在函数论中,拟对称映射是一类重要映射,由拟对称映射可衍生出拟对称极小的概念。研究各类分形集的拟对称极小性是分形几何研究中的一个重要课题。本文在第四章研究了齐次完全集的拟对称极小性,得到Huasdorff维数为1的齐次完全集在某些条件下是1维拟对称极小的。4.自仿射集是重要的分形集,讨论自仿射集上的自仿射测度是研究自仿射集的重要手段。本文第五章研究了自仿射测度的Bessel谱和框架谱的Beurling维数,得到了Beurling维数的非平凡上下界。特别地,讨论广义Sierpi′nski地毯上的自仿射测度,得到关于Beurling维数的更优结论。自仿射测度是一类“线性”测度,与之对应的“非线性”测度有非齐次自相似测度。本章最后研究了非齐次自相似测度的Fourier变换,计算了该测度的无穷Fourier维数。