三分谢尔宾斯基垫片是一个典型的分形集,具有分形的一切特性.良好的对称性使得它具有类似谢尔宾斯基垫片的许多分析性质。本文利用文献中的理论,整体上采用由简单到复杂的方法,得到了三分谢尔宾斯基挚片的分形结构上的一些性质.调和扩张是最小扩张,拉普拉斯算子是一个重要的数学概念,拉普拉斯算子作用在调和函数上值为零,法向导数是边界点上的、比拉普拉斯算子“低级”的导数等,这些性质是传统数学中光滑曲线的重要性质.而三分谢尔宾斯基垫片是不光滑的,在它上面研究这些性质是由光滑曲线向不光滑曲线的转化.因此,研究三分谢尔宾斯基垫片上的这些分析性质具有重大意义。　　 本文首先定义了一个迭代函数系,它是由六个压缩比都为三分之一且相似的映射组成,由它迭代一个等边三角形可以得到三分谢尔宾斯基垫片,它满足自相似集的定义。因此,三分谢尔宾斯基垫片是一个自相似集。由此自相似集、迭代函数系及此迭代函数系中函数的个数组成了三分谢尔宾斯基垫片的自相似结构,它是一个后置临界有限(p.c.f.)自相似结构。其次,在三分谢尔宾斯基垫片的自相似结构上,作者定义了图能,利用调和扩张得到了三分谢尔宾斯基垫片的重整化因子、调和函数以及六个可逆的调和矩阵.然后,利用图能的性质得到了三分谢尔宾斯基垫片每一层上的离散拉普拉斯算子序列。利用弱公式化的概念,推导出了自相似集上标准拉普拉斯算子的逐点公式.又给出了法向导数的定义,并且推导出了三分谢尔宾斯基垫片上的法向导数.最后,调和函数是拉普拉斯方程在所有非边界点的解,双调和函数是泊松方程在所有非边界点的解.在此局部上采用归纳的方法,给出了三分谢尔宾斯基挚片上的调和函数与双调和函数的算法。