地图M是图r=(V,E)在一个紧致连通曲面S上的嵌入,使得S\(V∪E)的每个连通分支都同胚于一个开圆盘。旗是地图上一个有邻接关系的点边面三元组。地图M的自同构群Aut(M)是旗集上的对称群的一个子群。因为地图是连通的,如果g∈Aut(M)稳定了一个旗,那么g稳定了所有的旗。因此,Aut(M)作用在旗集上是半正则的。如果Aut(M)作用在旗集上是传递的,我们称地图M是正则的。众所周知,正则地图是具有最高对称性的地图。如果地图M是一个正则地图,那么地图M的每个顶点有相同的度,记为尼;地图M的每个面有相同的面长度,记为m。我们称地图M是类型(k,m)的。定义地图M=(G;V,E,F),这里G为地图M的自同构群Aut(M),且V,E,F分别表示地图M上的点集、边集、面集。取α,β∈V,e,e’∈E,f,f’∈F使得三元组(α,e,f),(β,e,f),(α,e’,f)和(α,e,f’)分别是地图M上的四个旗。取R0,R1,R2∈G,使得(α,e,f)R0=(β,e,f),(α,e,f)R1=(α,e’,f)以及(α,e,f)R2=(a,e,f’)。定义Uk,m为无数个m边形在单连通曲面上的镶嵌,使得每个顶点上恰与k个m边形关联。定义群Tk,m=<R0,R1,R2 |R02,R12,R22,(R0R1)m,(R1R2)k,(R2R0)2>为全三角群。它是Uk,m的自同构群。对应的正则地图Uk,m=(Tk,m;R0,R1,R2)称为普通的镶嵌。对于每个类型为(k,m)的地图M,我们可以通过把Uk,m作商来得到。地图M的自同构群为G=<r0,r1,r2|r02,r12,r22,(r0r1)m,(r1r2)k,(r2r0)2,…>,这里的点表示可能存在的附加关系。地图M表示为M=(G;r0,r1,r2)。对于正则地图M=(G;r0,r1,r2),M的支撑曲面S是紧的当且仅当M上的旗集是有限的。地图M上点、边、面的数目为旗的数目除以对应的稳定子。也就是说,如果地图M是类型(k,m)的,那么M有|G|/(2K)个点,|G|/4条边和|G|/(2M)个面。把这些代入Euler-Poincare公式,我们得到χ=2K/|G|-4/|G|+2m|G|=-λ(k,m)2/|G|这里λ(k,m)=1/2-1/k-1/m。如果地图Uk.m上的支撑曲面u是单连通的,那么它是球面、平面或上半平面。如果支撑曲面u是球面,那么亏格g=0,且χ=2-2g=2。因为χ=-λ(k,m)|G|/2=2,所以λ(k,m)=1/2-1/k-1/m<0,因此1/k+1/m>1/2。否则,支撑曲面u是平面。支撑曲面u是平面当且仅当1/k+1/m≤1/2。类型(k,m)的满足1/k+1/m=1/2或1/k+1/m＜1/2的,分别称为欧几里得的和双曲的。如果支撑曲面u是球面,那么1/k+1/m>1/2。二元组(k,m)的解为(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),以及(k,2),这里k取所有满足k≥1的整数,以及(2,m),这里m取所有满足m≥1的整数。这些类型的全三角群分别为:(1)T3,3≌S4。(2)T3,4≌T4,3≌S4×Z2。(3)T3,5≌T5,3≌A5×Z2。(4)T2,≌Tm,2≌Dm×Z2。类型为(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3)的地图分别对应于五个柏拉图多面体:正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、以及正二十面体。注意到正方体和正八面体是相互对偶的,正十二面体和正二十面体也是如此。而正四面体与其自身对偶。类型为(2,m)的地图对应于有m条边的二面体,类型为(m,2)的地图对应于二面体的对偶。在这些类型中,支撑曲面u是一个球面。群Tk,m的阶对应于旗的个数,不需要任何附加关系。如果支撑曲面u是欧几里得的,那么1/k+1/m=1/2。有三种欧几里得的类型:(4,4),(6,3)和(3,6)。对应的平面上的镶嵌Uk,m为无穷的方格,正三角形和正六边形。这些类型的全三角群分别为:(1)T4,4≌((Z×Z)×Z4)×Z2。(2)T3,6≌T6,3≌((Z×Z)×Z6)×Z2。如果支撑曲面u是双曲类型的,那么1/k+1/m<1/2。不失一般性,令k≤m。对于每个二元组(k,m)满足k≤m的,如果k≥5,或者k≥4且m≥5,又或者k≥3且m≥7,那么这是个双曲类型的地图。(k,m)类型的地图是双曲的当且仅当(m,k)类型的也是。在这个类型中,Tk,m变得更加复杂。我们经常把这个问题根据X的类型分为一些子问题,X的类型经常被分为:χ=-p,χ=-p2,χ=-2p,χ=-3p或者χ是无平方因子的。对于χ=-p 的情况,在 2005 年,Breda d’Azevedo,Nedela 和 Siran给出了欧拉特征为负素数的不可定向的正则地图的一个划分。在2001年,Siran,Tucker和Watkins证明了恰好有14种边传递地图。这14种地图是根据点稳定子,边稳定子和面稳定子的种类来划分的。边稳定子Ge有三种类型,Z2 × Z2,Z2和1。对于Ge=Z2 × Z2这种情况,M是一个正则地图。对于Ge=Z2这种情况,边稳定子Ge有三种类型:Ge=<r0>,Ge=<r2>或Ge=<r0r2>。每种情况能被分成两小类:包含对合x使得(α,e,f)x=(α,e’,f),或者不包含对合x。因此边稳定子为Ge=Z2的有6种类型。对于Ge=1这种情况,一共有七种类型。根据自同构群Aut(M)作用在M的旗集的轨道上来分,一共有14类边传递的地图。在2019年,Breda d’Azevedo,Catalano和siran给了非定向曲面上欧拉特征为负奇素数的双旋转地图一个分类。但是其他类型的边传递地图分类还不明确。一个自然的问题是理解这14种类型中的每一种。在本论文中,我们研究了一种类似于bi-rotary地图的边传递地图。在这14种地图中,只有一种是弧传递,点传递和面传递,而且点稳定子和面稳定子都是二面体群的。我们称这种地图为双二面体地图,因为它有两个二面体的稳定子。本文的主要结果是对满足欧拉特征为负奇素数的不可定向曲面上的所有双二面体地图进行了分类。定义G为由三个对合x,y,z生成的群,这里|x|=|y|=|z|=2。令M=(G;x,y,z)为一个类型(k,m)的边传递、点传递、面传递的地图,这里k和m分别为地图M的度与面长度,且欧拉特征X(M)=-p为负奇素数。令V,E,F分别为地图M的点集,边集,面集。令Gα=<x,y>,Ge=<z>,Gf=<x,yz>分别为地图M的稳定子,这里α∈V,e∈E,f∈F。我们研究的问题是找到所有满足以上条件的地图。在本文中,我们给了欧拉特征为负奇素数的双二面体地图一个分类。令地图M为一个双二面体地图,且欧拉特征为χ(M)=-p,这里p是一个奇素数。令G为地图M的自同构群Aut(M)。我们分两种情况讨论:p||G|或者p(?)|G|。在p||G|这种情况中,因为1/k+1/m+1/λ=1/2,且k、m、λ均为整数,我们很容易找到(k,m,λ)的解。注意到k和m分别对应于点稳定子Gα和面稳定子G.f的阶,我们可以排除掉一些解。三元组(k,m,λ)三个可能的解为(4,6,12),(4,8,8),以及(6,6,6)。接着,根据一些基础的群论知识,我们找出奇素数p的可能的解。因为|G|的值为λp,我们可以找到群G的可能的阶。最后我们在固定阶的群中验证这些群是否是某个地图的自同构群。在p(?)|G|这种情况中,我们用类似于bi-rotary地图的分类方法证明:对于所有边传递,点传递,面传递的地图,如果欧拉特征X(M)=-p(?)|G|,那么G=GαGf,这里α∈V且f∈F。我们证明下面这些数|V|,|F|,k/2,m/2都是奇数。最后我们证明如果G存在,G必定是二面体群D2n。本文的概要如下。在第一章中,我们介绍了地图的研究背景。在第二章中,我们总结了地图和群论的基本概念。Siran,Tucker和Watkins等人发现,恰好有14类边传递地图。在第三章中,我们绘制了地图自同群Aut(M)作用在这14类地图旗集上的轨道。因此,我们可以直接从这些图中得到一些地图的性质,如点稳定子的类型,k与m的限制等。双二面体地图是这14类中的一类边传递地图。在第四章中,我们介绍了双二面体地图及其性质。在第五章中,我们给出了满足欧拉特征为X(M)=-p的双二面体地图一个分类,这里p是一个奇素数。在这个过程中,我们使用了类似于bi-rotary地图的分类方法。我们把它分为两种情况:p ||G|,见5.1节,和p(?)|G|,见5.2节。在本文中,我们使用MAGMA软件来找出所有固定阶的群,使用geogebra软件绘制所有的图。本文的主要结果证明了:设G是双二面体地图M的自同构群,且χ(M)=-p是M欧拉特征,这里p为素数。如果p整除G的阶,那么G是S4,A5和Z3:S3其中之一;如果p不整除G的阶,那么G为D2n。在本文中,我给了所有满足X(M)=-p的双二面体地图一个分类,这里的p是一个奇素数。但是对于其他类型的欧拉特征,比如X(M)=-2p,X(M)=-3p,X(M)=-p2,或者X(M)是无平方因子的,双二面体地图的分类又会是怎样的呢?对于欧拉特征X(M)=-p2的情况,如果p(?)|G|,情况和χ(M)=-p且p■|G|类似,但群G的阶比较大,情况更加复杂;如果p2||G|,情况和X(M)=-p且p||G|类似。如果p||G|且p2(?)|G|,这种情况还没有被解决。Conder,Potocnik和Siran等人在2010年给了满足χ(M)=-p2的正则地图一个分类,相信其中的一些方法我们是可以借鉴的。