本论文主要分为两部分：第一部分由2、3章组成,考虑奇异系数的随机微分方程相关问题；第二部分包含4、5章,研究非局部算子的热核估计.这两部分内容分别对应于构造Markov过程并研究其相关性质的两种不同工具：Ito的随机微分方程理论和Kolmogorov的偏微分方程方法.具体概述如下：第2章中我们首先给出一种通过矩估计刻画随机场Sobolev正则性的方法.利用这种刻画,在某种局部Sobolev及超线性增长系数条件下,我们证明随机微分方程唯一强解Xt（x）关于初值的Sobolev可微性以及对应半群的强Feller性和不可约性.进一步若假设扩散系数σ一致非退化,我们证明当漂移系数b局部奇异且无穷远处线性增长时,上述结论仍成立.第3章考虑更一般的可乘噪音驱动的随机微分方程,即对于一大类的α-稳定型纯跳Levy过程Lt,我们在Sobolev扩散和跳系数、Lp-可积漂移系数及σ一致非退化的条件下,证明上方程强解的轨道唯一性、密度函数的存在性及Xt（x）关于初值的Sobolev正则性.第4章我们研究如下临界分数次扩散算子的热核估计：在系数a,b满足Holder连续的条件下,先采用Levi的拟基本解方法构造算子a（t,x）△1/2+b（t,x）·▽的热核.然后再利用Duhamel公式,对某种Kato空间中的函数c构造算子Lt,x a,b,c的热核,并结合概率的技巧,给出热核的一些性质及双边估计.第5章讨论一类非常一般的非局部、非对称带跳扩散算子,即当a（t,x）一致非退化、关于x为Holder连续,J（t,x,z）有界且b属于某Kato类时,我们利用拟基本解理论、Duhamel公式及概率方法,构造算子L1的热核并给出相应的估计.最后,为了说明热核估计与随机微分方程之间的联系,我们将利用本章的结果,在更弱的条件下证明第3章中考虑的随机微分方程（1）弱解的唯一性.此外,我们还在第1章中介绍了问题的相关背景及研究现状,在第6章中对两部分内容进行了总结并进一步阐述了之间的紧密联系,同时我们也提出了几个值得考虑的有趣问题.