众所周知，图论学科的产生与发展与化学分子图的研究非常密切。实际上，若仅考虑原子间的连接关系，则用图或树状图来表示分子的结构是一件非常自然的事情。化学分子图理论对于新物质、新材料的研究一直起着非常重要的作用。上世纪末，伴随科技的飞速发展和生活水平的日益提高，制造业和医药领域对于新材料、新药物的需求与日俱增。如果盲目地合成这些新材料、新药物不仅造成时间上和经济上的浪费，而且也是不现实的。为了能有目的地、快捷地合成新物质，组合化学再次成为研究的热点。 化学分子图的拓扑指标理论是组合化学的一个重要研究分支。所谓分子的一种拓扑指标是从分子图集合到实数集合的一个映射i，也就是说，把每个分子图G对应于一个实数i(G)，而这种对应往往是通过分子图的子图及其计数来建立的。计算化学家们通过大量的数据，用统计方法给出了分子的各种物理化学性质与它的指标值之间的数量关系。也就是说，一个分子图的拓扑指标值可以反映分子的物理化学性质和药物学性质。这方面的研究在理论化学中也称为QSAR和QSPR理论。 由于映射i的值域可以看作为“活性空间”，具有相似活性的化合物被映射为此空间中相近的指标值，特别地，大量的化合物被映为同一个指标值或相近的指标值。那么一个最重要也是最自然的问题就是：确定某一物理化学性质的活性区域，即确定拓扑指标的取值范围，以及指标取得极值时分子图的结构。弄清楚这个问题有助于试验化学工作者建立分子图的数据库，从而有目的地合成新物质。 1975年著名化学家M.Ranid(c)提出了连通性指标，即Randi(c)指标。因为这一重要的拓扑指标和分子的物理化学性质(如分子的沸点、表面积等)和药物学性质之间有着紧密的关系，近年来得到了特别地重视。 1998年，P.Erd(o)s和B.Bollobás提出了广义Randi(c)指标的概念，从数学上发起这方面的研究，因而引起了许多数学家和理论化学家的重视，并且得到许多深刻而且很重要的结果。图G的广义Randi(c)指标Rα(G)的定义是： Rα(G)= 其中α是任意实数，d(u)为图G中顶点u的度数。目前的研究主要集中于求以下几类图的极值和极图问题：具有给定的顶点数或(和)边数的(连通)图，树，化学图(即最大度不超过4的图)和化学树。因为树和连通图都是极重要的化学结构，所以本文着重研究树和连通图的广义Randi(c)指标的极值和极图问题。 本文第二章研究了对于任意实数α，树的广义Randi(c)指标的最小值问题。我们证明了对于阶数n≥5的树，当α＜0时，星图Sn具有最小的广义Randi(c)指标，而当α＞0时，路图Pn具有最小的广义Randi(c)指标。同时给出了当α∈[-1，0)时达到第二、三小广义Randi(c)指标值的树(类)，分别是彗星图Pn,n-2和双星图S3,n-3。 在第三章，我们首先给出了当α≤-1时具有最大的广义Randi(c)指标Rα的一类树的结构性质，在此基础上确定了所有不多于102个顶点的树的广义Randi(c)指标R-1的最大值，及达到最大值的一种树的结构。这一结果大大扩展了已有的具有最大的R-1指标值的树的阶数n的范围(n从20扩展到了102)。当然列出所有阶数为n的不同构的树是不现实的，所以我们不可能用计算机直接计算所有树的指标值，然后搜索出其中的最大值。我们的计算方法是对于所有不多于102个顶点的树，先刻画出一种达到最大广义Randi(c)指标值R-1的树的简单结构，即分支子树(去掉树T中1度点和2度点后所得子图)是星图。由这一简单结构出发，我们可以利用线性规划的方法，设计程序用计算机方便地计算出对于每一个给定的n≤102，广义Randi(c)指标值R-1的最大值。 在第四章，我们完全解决了L.H.Clark和J.W.Moon提出的关于广义Randi(c)指标R-1的上界的两个猜想。因为具有最大广义Randi(c)指标R-1的树不是唯一的，所以其严格上界问题是困难的，提出多年未能解决。我们证明了limf(n)/n=15/56，其中f(n)是对所有n个顶点的树广义Randi(c)指标值R-1的最大值。我们还确定了树的广义Randi(c)指标R-1的一个严格的上界。我们给出了一系列树的结构，使得此上界对于无穷多个n是紧的。从而完全解决了树的广义Randi(c)指标R-1的严格上界问题。 广义零阶Randi(c)指标0Rα(G)是由零阶Randi(c)指标推广而来，对任意实数α，0Rα(G)=∑v∈V(G)d(v)α。在第五章，我们对连通图的广义零阶Randi(c)指标的极值问题进行了研究。对于α的不同取值，刻画了0Rα(G)达到极值时的图的结构，确定了当α＜0和α＞1时0Rα(G)的最小值，及α≤-1和0＜α＜1时0Rα(G)的最大值，并且给出了相应的极值图。