论文部分内容阅读
设a(n)表示所有的非同构Abel群的个数.熟知对每一个素数P，自然数α≥1,有a(pα)=P(α),这里P(α)表示α的无约束划分的个数.特别我们有a(1)=1,a(p)=1,a(p2)=2,a(p3)=3,a(p4)=5,a(p5)=7,a(p6)=11,a(p7)=15.关于有限Abel群的个数函数a(n)的均值,许多数论学家做了深入的研究：P.Erdos，G.Szekeres首先证明∑a(n)=c1x+O(x1/2).Kendall,Rankin证得∑a(n)=c1x+c2x1/2+O(x1/3logx).H.-E.Richert证得∑a(n)=c1x+c2x1/2+c3x1/3+O(x3/10log9/10x). 我们令△(x):=∑a(n)-c1x-c2x1/2-c3x1/3，以下是近期的研究成果: △(x)≤x20/69log21/23x，W.Schwarz; △(x)≤x7/27log2x，P.G.Schmidt; △(x)≤x97/381log35x，G.Kolesnik; △(x)≤x40/159+ε，H.Q.Liu;＜ △(x)≤x50/199+ε，H.Q.Liu; △(x)≤x55/219log7x，Sargos and Wu; △(x)≤x1/4+ε，Robert and Sargos. 设k≥2为一固定的正整数,n＞1的标准分解式n=p1α1p2α2…psαs,若αj≥k(j=1,…,s),则称n为k-full数.令δk为k-full数的特征函数.文[18]证明了a(n)在2-full和3-full数集中的均值: ∑a(n)δ2(n)=x1/2P1(logx)+x1/3P2(logx)+O(x1/4+ε),其中Pj(t)(j=1,2)是t的j次多项式. ∑a(n)32(n)=x1/3Q2(logx)+x1/4Q4(logx)+x1/5Q6(logx)+O(x0.1876+ε),其中Qj(t)(j=2,4,6)是t的j次多项式. 1953年Piatetski-Shapiro第一次考虑了后来以他的名字命名的素数问题,令πc(x)=∑1(n≤x,[nc]=P),并且他证明了当1＜c≤12/11≈1.090909…时，有公式(1)：πc(x)=∑1=(1+o(1))x/clogx(n≤x,[nc]=P).此后,c的范围被不断扩大.目前最好的结果是Rivat和Sargos,他们证明了当1＜c＜2817/2426≈1.16117…时候渐近公式(1)成立。 本文将研究a(n)在稀疏集中的均值.有如下定理： 定理1.1 设A(x)=∑a([nc])(n≤x),则当1＜c＜2788/2396=1.16360606…时,有A(x)=γc1x+O(x/logx).