泛函微分方程理论是近几十年成长起来的新兴学科,在国内外有很多专家学者从事这一领域的研究,其基础理论取得了长足的发展.而泛函微分方程和偏泛函微分方程振动性理论是泛函微分方程定性理论研究的一个重要组成部分.作为微分方程定性研究的一个分支,振动性理论一直是许多数学工作者的研究内容之一.由G. Sturm建立的齐次二阶线性微分方程解的零点分布的比较定理和分离定理,为微分方程振动性理论的研究奠定了基础.一个半世纪以来,微分方程的振动性理论得到了迅猛的发展,有大批学者从事于这方面的理论研究,取得了一系列丰硕的研究成果.另一方面,作为泛函微分方程的一个重要的分支,时滞微分方程的理论研究也是近些年来许多学者的重点研究内容之一.时滞的存在使得系统的稳定性分析变得更加困难.作为一类重要的混合动态系统,切换系统的研究具有很重要的理论意义和实际应用价值.切换律在切换系统的行为表现中起着重要的作用,对于切换系统镇定性的研究是近几十年来控制领域兴起的一个新热点,并且受到人们的日益关注.此类系统的特点是可以通过选择恰当的切换律,使得不稳定的子系统可以组成一个渐近稳定的切换系统；同样,可以使得稳定的子系统,组成一个不稳定的切换系统.本文创新性主要成果如下：1.利用一个推广的黎卡提变换,通过积分平均法,得到了二阶时滞偏微分方程的一些新的振动判据.这些结果可以看作是常微分方程情形中基于Kamenev型振动性以及Philos型振动性判别准则的推广和改进.2.对二阶时滞偏微分方程,应用积分平均方法以及Riccati变换技巧,给出新的区间振动准则,这与以往限制整个区间[t0,∞)上的条件不同,在此只需借助于其子区间序列上的信息.我们的结果是以往准则的推广、改进,可以应用于其所不能解决的很多情况.3.对于二阶拟线性中立型微分方程,通过微分不等式,巧妙处理中立项,结合使用Riccati变换和辅助函数,得到了拟线性中立型微分方程的振动性的判别准则,这些振动性准则可以看作是中立型微分方程的一种较大的推广和改进.4.考虑了一类单输入线性切换系统的可镇定性问题.利用变结构控制将系统进行了降维,通过对系统滑动模态的研究,得出了系统一致可镇定的充分条件,以及系统存在容许镇定策略的充分条件.给出了具体的容许镇定策略集合.并针对二阶切换系统给出了详细的容许镇定策略.仿真实例验证了结论的正确有效性.