本文首先使用临界点理论研究了一类带有Sturm-Liouville边界条件的分数阶微分方程边值问题,证明了多解的存在性。接着,研究了一类分数阶线性微分方程的本征值问题,并通过拓扑度理论建立了本征值和非线性微分方程解的存在性之间的联系。根据所研究的问题,本文分为以下章节:第一章的内容是绪论,主要介绍了课题的研究背景,简述了分数阶微分方程的历史发展,应用背景以及研究现状,并且对本文使用到的研究方法进行了简单介绍。第二章为基础知识部分,主要介绍了分数阶微分方程的基本计算以及在后文中会使用到的定义和定理。第三章研究了一类带有Sturm-Liouvil边界条件的分数阶微分方程边值问题多解的存在性,利用双临界点定理和三临界点定理分别得到了该问题两个解以及三个解的存在性结论。第四章先是利用拉普拉斯变换和逆拉普拉斯变换的方法研究了一类分数阶线性微分方程边值问题的本征值和本征函数。然后运用拓扑度理论建立了本征值与其相同边界条件下的非线性问题的解的存在性之间的关系。第五章总结了当前的工作并且展望了未来的发展前景。