本文中,我们主要讨论了谱方法在一些反问题中的应用。第一章,主要介绍了谱方法的一些基本知识,以及论文后面所需要的引理。第二章,介绍了谱方法在第二类Volterra型积分方程中的应用,并且给出了严格的收敛性分析,并在此基础上介绍了目前国际上最新的进展。然后根据第一节中提出的方法我们建立了一种新的后处理方法来解决初值问题,譬如常微分方程,哈密尔顿系统等,并对一些低精度的格式改进得到了高精度格式。最后,我们利用现有的方法对提出的新的后处理格式进行了稳定性分析,并且与现有的后处理方式进行了比较,得到了稳定区域与精度区域的中间结果,即比显格式要更稳定更精确,但是比隐格式差的结论。第三章,根据分数阶导数的定义,我们可以把分数阶积分方程视为一类积分微分方程。首先我们详细介绍了分数阶微分以及积分的定义,性质。然后对一般的初边值问题,得到了更为一般的极大值原理以及在差分离散格式意义下的极值原理,并给出了数值算例,得到了差分意义下在时间方向上的收敛速度,即代数精度2-α。然后我们根据第一章中提出的谱方法,提出了一种在时间方向和空间方向同时到达谱精度的数值格式。在本章中,我们还详细地研究了分数阶方程中的反问题,包括反演源项问题,反演边界条件问题以及缺失部分边界条件下的求解问题。在某些特定的条件下,我们可以得到该方程的Carleman估计,然后再根据Carleman估计得到更多Cauchy问题的条件稳定性。第四章,我们将谱方法应用到一类地震断层成像的反问题中。首先我们介绍了走时成像中的正问题,即如何计算地震发生后,地震波到达观测站的首到时间,我们给出了两种算法,即打靶法和弯曲法。然后再过渡到反问题,即给定走时,如何反演地质中的地层界面,地震波在各层间的速度等。我们使用了谱方法离散整个模型,节省了计算空间和时间,并利用正则化的方法反演得到了地质结构中的各层分界面以及各层间的地震波速。