本文研究非交换紧致空间上的度量几何,讨论扭变群C*-代数上的量子度量空间结构.全文共分为四章;具体如下:在第一章中,我们集中介绍本文的研究背景及本文所涉及到的一些基本概念和预备知识.在第二章我们利用离散群的扭变速降性质构造了一类新的紧致量子度量空间.我们推广了经典的速降性质和有限生成群的扭变速降性质至更为一般的离散群的扭变速降性质,并给出了它的几个等价刻画.对于一个具有2-上闭链σ的离散群r,利用r上的一个长度函数l所导出的l2（Γ）上的逐点乘法算子Ml,我们可以得到其扭变约化群C*-代数Cr*（Γ,σ）上的导子序列{△k}k=1∞,并由此得到了扭变约化群C*-代数Cr*（Γ,σ）上的一个Lipschitz半范数序列{LDk}k=1∞.我们证明了当群Γ具有对应于某个真的长度函数l的σ-扭变速降性质时,一定存在某个正整数k0使得对于任意的正整数k≥k0,半范数LDk均是Cr*（Γ,σ）上的Lip-范数,即(Cr*（Γ,σ）,LDk均是紧致量子度量空间.应用这一定理我们可以分别赋予双曲群、有限生成的自由群、多项式增长的有限生成群和离散Heisenberg群等所生成的扭变约化群C*-代数紧致量子度量空间结构.特别地,这赋予了非交换环面紧致量子度量空间结构.同时我们也证明了扭变约化群C*-代数Cr*（Γ,σ）上的紧致量子度量空间结构（Cr*（Γ,σ）,LDk）在Lipschitz等距的意义下不依赖于2-上闭链的上同调类中的代表元的选取,因此其仅仅依赖于2-上闭链的上同调类.在第三章中,我们利用离散群上的长度函数的有界θ-膨胀性质构造了一类新的紧致量子度量空间.通过将Cc（Γ,σ）在l2（Γ）上的左正则投射表示得到的扭变卷积算子视为积分算子,我们得到了一个关键的不等式.运用这个不等式我们在Cc（Γ,σ）上定义了一个新的半范数JD,θ,同时证明了这个半范数仅仅依赖于2-上闭链σ的上同调类.对于截断左正则投射表示得到的扭变卷积算子,我们给出了它相对于算子范数和半范数JD,θ的估计.我们推广了经典的有限生成的离散群上的长度函数的多项式增长性质至更为一般的离散群上的长度函数的有界θ-膨胀性质.我们细致地分析了赋予了一个具有有界θ-膨胀性质的长度函数的离散群上的具有有限支撑的函数,将这些函数分成了"三个"部分,并分别给出了它们的算子范数和半范数JD,θ的估计.对于一个赋予了具有有界θ-膨胀性质的长度函教l和2-上闭链σ的离散群r,利用这些结果我们证明了（Cr*（Γ,σ）,LD）是一个紧致量子度量空间,且其紧致量子度量空间结构在Lipschitz等距的意义下仅仅依赖于2-上闭链σ的上同调类.特别地,对于一个有限生成的多项式增长的离散群r（即一个幂零群通过一个有限群的扩张而得到的群）和其上的任意一个2-上闭链σ,二元组（Cr*（Γ,σ）,LD）是一个紧致量子度量空间.在第四章我们讨论扭变约化群C*-代数上的标准的谱三元组的等距群的拓扑群性质.我们给出了三元组（Cr*（Γ,σ）,l2（Γ）,Ml）是一个谱三元组的一个充分必要条件;即离散群r上的长度函数l是一个真的且值域是无界和离散的函数.对于谱三元组(Cr*（Γ,l2（Γ）,Ml）,我们证明了等距群Iso（Cr*（Γ,σ）,l2（Γ）,Ml）在点范数拓扑下是一个拓扑群,且在拓扑群的同构意义下它仅仅依赖于2-上闭链σ的上同调类.通过在离散群r到单位圆周T的所有函数构成的集合Map（Γ,T）和保持长度函数l的自同构群Autl（Γ）上分别赋予逐点收敛拓扑,当l满足一定条件时我们证明了等距群Iso（Cr*（Γ,σ）,l2（Γ）,Ml）与半直积拓扑群Map（Γ,T）（?）σ Autl（r）是同构的.利用等距群Iso（Cr*（Γ,σ）,l2（Γ）,Ml）在由,的特征子空间的酉算子群所得到的直积上的拓扑嵌入,我们证明了该等距群在点范数拓扑下实际上是一个紧致的拓扑群.特别地,当Γ是一个有限生成群时,等距群Iso(Cr*（Γ,σ,l2（Γ）,Ml）在点范数拓扑下是一个紧致的李群.更一般地,我们证明了对于一个具有*-滤过的有单位元的C*-代数A,由这个*-滤过构造的谱三元组的等距群在点范数拓扑下也是一个紧致的拓扑群.