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这篇博士学位论文包含了作者在攻读博士学位期间的主要研究工作.文中应用研究函数空间上算子性质的若干技巧研究了解析函数空间上几类算子的Hyers-Ulam稳定性问题:应用Laplace变换方法、不动点技术和加权空间方法研究了几类分数阶微分方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题;应用直接方法研究了两类混合型函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性.全文共分六章.第一章主要对Hyers-Ulam-Rassias稳定性的研究背景、研究意义和研究进展作一个简单的概述.内容主要包括函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性研究、微分方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性研究和函数空间上算子的Hyers-Ulam稳定性研究.重点介绍了算子和方程的Hyers-Ulam稳定性、Hyers-Ulam-Rassias稳定性的定义和一些重要结论.本章也介绍了本论文的主要研究内容和创新点.第二章首先研究了整函数Hilbert空间E2（γ）上微分算子D和复合算子Cφ的Hyers-Ulam稳定性,其中φ（z）= az+b,0<|a|≤1.应用空间E2（γ）上的比较函数γ（z）=∑n-0∞ γnzn给出了微分算子D是Hyers-Ulam稳定的一个充分必要条件,证明了空间E2（γ）上的复合算子Cφ不是Hyers-Ulam稳定的.其次,研究了具有再生核的加权Hardy空间Hβ2上微分算子D的Hyers-Ulam稳定性,得到了微分算子D的Hyers-Ulam稳定性是由再生核函数决定的,同时研究了算子Tλ的Hyers-Ulam稳定性.最后,研究了具有多变量的再生核函数空间Hf2（Bd）上偏微分算子的Hyers-Ulam稳定性,证明了该空间上偏微分算子不是Hyers-Ulam稳定的.第三章首先研究了带有Riemann-Liouville分数阶导数的线性微分方程Dau（t）+ du（t）= q（t）的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题,应用Laplace变换方法证明了该分数阶微分方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性定理.其次,研究了两类带有Caputo分数阶导数的线性微分方程（CD0+y）（x）-λy（x）=f（x）和（CD0α-y）（x）-λ（CD0β+y）（x）=g（x）的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题,分别证明了这两类分数阶微分方程的Hyers-Ulam Rassias稳定性定理.第四章研究了以下非线性分数阶Cauchy型问题的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题:（DqTy）（x）=f（x,y（x））,q>0,x∈[0:T],初始条件为（DTq-ky）|x=T = bk,bk ∈R（k = 1,,n-1）,bn = 0,这里（DTq-ky）|x=T= limx→T（DTq-ky）（x）,1 ≤ k≤n-1,bn = limX→T（ITn-qy）（x）,n =-[-q],DTq和ITq分别表示右侧Riemann-Liouville分数阶导数和q阶积分,f（x,y）是有界的连续函数.应用不动点技巧和加权空间方法得到了一些稳定性的充分条件.在第五章中,主要研究了两类混合型函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性.首先,研究了 Banach空间上一个四次-可加混合型函数方程（k4-k）[f（kx+y）+f（kx-y）]= k2（k4-k）（f（x+y）+f（x-y））+2（1-k2）（f（ky）-kf（y））+2（k4-k）f（kx）-2k2（k4-k）f（x）的一般解和Hyers-Ulam-Rassias稳定性,其中k≠0,k≠1,给出了该方程Hyers Ulam-Rassias稳定的充分条件.其次,研究了拟Banach空间上含一个参数的二次-可加混合型函数方程2k[f（x+ky）+f（kx+y）]= k（1-s + k + ks + 2k2）f（x + y）+ k（1-s-3k + ks + 2k2）f（x-y）+ 2kf（kx）+2k（s+k-ks-2k2）f（x）+2（1-k-s）f（ky）+2ksf（y）的一般解,同时给出了该函数方程在拟Banach空间上Hyers-Ulam-Rassias稳定的充分条件,这里k>1,s≠ 1-2k.第六章总结全文,并展望今后的研究工作.