基于Galerkin框架与正交多项式的优势,传统的谱方法被广泛应用于求解具有高正则度解的微分方程。但在诸多数学与科学计算问题中,由于计算区域的角点奇性、边界条件的不匹配与内部系数的不光滑等这类原因,方程的真解往往具有一定的奇性,从而限制了谱方法的实际应用。为了恢复谱方法对奇性问题的高效性,本文我们设计了几类特殊的谱方法来处理一些当前热门的奇性问题。我们将其细分为以下几个部分:一、广义Jacobi函数（GJFs）谱方法及其对一类典型的分数阶微分方程的应用。这一部分,我们定义一类新的广义Jacobi函数（GJFs）,寻找它与分数阶微积分的关系并建立与它相关的GJFs逼近理论。基于这一理论,我们构建相应的GJFs-Petrov-Galerkin方法来高效地数值求解一类典型的分数阶微分方程。在分别讨论了上述方程的初值问题与边值问题之后,我们给出只与方程源项正则度相关的误差估计。二、广义Laguerre函数（GLFs）谱方法及其对Tempered分数阶扩散方程的应用。此部分我们回顾了Tempered分数阶扩散方程（TFDEs）（参考[78]）的由来以及Tempered微积分的定义。为了数值求解TFDEs,我们针对性的定义了GLFs并得到一些重要的性质,从而进一步地建立了GLFs的逼近理论。在给出一个求解典型的Tempered分数阶问题作为参照之后,我们用双区域的GLFs谱元法来求解全空间上的TFDEs。数值实验反映了TFDEs的一些性质,与此同时也验证了谱格式的高效性。三、延拓的谱方法（ESM）及其对一些奇性问题的应用。通常的谱方法为解具有光滑解的问题提供了一种高精度的数值方法。但这一优势对奇性问题不再适用,故限制了谱方法的应用。但对于一些可以通过事先分析得到首几个奇性项的奇性问题,我们可以将这些奇性项作为基函数代入问题来提高收敛速度。为了避免直接代入导致矩阵系统的病态,我们通过传统的谱方法来分别处理光滑部分与奇性部分,然后采用一些特殊的技巧来重新构建原问题的逼近解,从而提高解的收敛速度。四、分数阶Poisson方程及其Caffarelli-Silvestre扩展问题的高精度谱方法。鉴于分数阶Laplace算子在一般区域上定义的复杂性,Caffarelli与Silvestre将复杂的d维分数阶Poisson方程扩展成简单的 d + 1 维整数阶方程。但此问题的解在延拓方向上具有奇性,故严重影响传统数值方法的收敛速度。为了高效地数值求解Caffarelli-Silvestre扩展问题,我们运用延拓的谱方法来避免解函数在增加维度方向上奇性所带来的影响。