在科学计算中常用有限差分法来求解各类偏微分方程,它是被广泛应用的数值方法之一.本文中我们研究求解非线性Schr?dinger方程的具有高精度的数值方法,提出几种有限差分格式.非线性Schr?dinger方程在物理应用方面起着很有力的作用,尤其是在流体力学、非线性光学、量子力学等方面被广泛应用.然而,多维非线性Schr?dinger方程和分数阶Schr?dinger方程的准确解很难得到.因此,建立一些守恒的有限差分格式来求解多维非线性Schr?dinger方程和分数阶Schr?dinger方程便成了一项重要任务.当前,高精度紧致差分格式由于有着高精度和高效率的优点,越来越受到国内外研究者的关注.本文中,对于多维非线性Schr?dinger方程,我们构造一些守恒的高精度紧致差分格式并分析差分格式的守恒性及稳定性.对于分数阶Schr?dinger方程也构造出几种高精度紧致差分格式,并对所建立的格式进行了数值理论分析.整个论文的具体研究内容包括以下六个部分:第一章,我们介绍非线性Schr?dinger方程及分数阶Schr?dinger方程的研究背景和国内外研究现状,同时也介绍高精度紧致差分格式的发展过程.叙述本文的主要工作,最后回顾将在后续章节中要用到的一些基本知识.第二章,我们分别给出了二维和三维非线性Schr?dinger方程的四阶紧致分裂步差分格式.在本章中,为克服非线性问题引起的求解困难,我们用算子分裂技术把原方程分裂为线性子问题和非线性子问题.对线性子问题建立守恒的四阶精度紧致差分格式,非线性子问题可以被精确求解.讨论格式的稳定性、守恒性和收敛性.数值算例验证我们所构造的格式的精确性和有效性.第三章,我们研究三维非线性Schr?dinger方程的数值解,为了解决多维引起的求解困难,结合分裂步方法分别构造四阶和六阶紧致交替方向隐式(ADI)差分格式,并证明两种格式的无条件稳定性.通过数值实验对两种格式的离散守恒性质、精度和稳定性进行验证.第四章,我们给一维和二维时间分数阶Schr?dinger方程分别提出四阶紧致差分格式和紧致ADI差分格式.时间分数阶Schr?dinger方程含有α(α ∈(0,1))阶的Caputo时间分数阶导数.本章中,分别采用L1数值公式和L1-2数值公式近似Caputo时间分数阶导数,对空间方向导数,利用四阶紧致差分公式.用Fourier分析法和数学归纳法证明了格式的稳定性,并通过一些数值算例验证了理论分析结果.第五章,在已有的研究工作基础上,我们研究求解带有Riesz分数阶导数的空间分数阶非线性Schr?dinger方程的守恒型分裂步Crank-Nicolson差分格式.此外,我们还给出了该算法的稳定性和收敛性分析,并证明了格式的质量守恒性.最后,通过数值算例来验证算法的高效性和理论的准确性.第六章,我们给出本文工作的总结和未来工作的展望.