非线性偏微分方程通常产生于自然科学与工程领域,它有着广泛的背景,是现代数学中的一个重要分支.力学,控制工程,生态与经济系统等领域的诸多问题都可以用非线性偏微分方程来描述.Kirchhoff方程作为非线性偏微分方程中最基本也是非常重要的一类非线性方程,它可以用来描述弹性绳的横向振动以及生态中的人口密度问题.它的解的存在性和多解性一直是作者们非常感兴趣的研究问题.本文分三部分研究了Kirchhoff方程.第一部分利用Nehari流形考虑了带有变号非线性项的Kirchhoff方程基态解的存在性;第二部分利用Fountain定理考虑了带有卷积非局部项的Kirchhoff方程无穷多解的存在性;第三部分在非线性项不满足增长性条件时,首先,利用修正函数与山路定理讨论了第一个修正问题非平凡解的存在性.此时非线性项仍不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件.其次,利用修正函数,Miranda定理以及定量形变引理证明了第二个修正问题变号解的存在性.最后,利用Moser迭代技巧证明了原问题非平凡小解与变号小解的存在性.本文分为四章.第一章,绪论.我们介绍关于Kirchhoff方程的研究背景和目前国际上关于Kirchhoff方程的相关研究结果,并且对我们的结果和目前已有结果进行了对比.第二章,考虑如下带有变号非线性项的Kirchhoff方程-(a+b∫R3|(?)u|2)△u+V(x)u=f(x,u)-K(x)|u|q-2u,x ∈ R3.(0.1)这里a,b均为正常数,q ∈[4,6).在势函数V满足紧嵌入条件,势函数K满足K∈L∞(R3),且K几乎处处大于等于零,以及f满足一些适当的条件时得到方程(0.1)存在基态解u,即最小能量非平凡解u.第三章,考虑如下带有卷积非线性项的Kirchhoff问题-(a+b∫RN|(?)u|2)△u+V(x)u=(Iα*|u|p)|u|p2u+f(x,u),x∈(0.2)这里a,b均为正常数,N是给定欧氏空间RN的空间维数.本章考虑的是N≥ 1的情形.同样在假设势函数V满足紧嵌入条件,函数f满足一些适当条件下得到当p∈[2,N+α/N-2)时,方程(0.2)具有一个无界的高能量解序列.第四章,考虑下列没有增长性条件的Kirchhoff方程-(a+b∫R3|(?)u|2)△u--V(x)u=|u|p-2u-λf(u)x∈R3,(0.3)JR3其中a,b均为正常数,λ是一个正参数,P ∈(4,6).同样在假设势函数Ⅴ满足紧嵌入条件,f∈C(而且满足下列条件(F4)limt→0 ∫(t)/t=0;(F5)limt→+∞∫(t)/t=+∞;(F6)f(t)t>0,t≠0;(F7)f(t)/|t|3在(-∞,0)和(0,∞)上不减.我们得到当f条件满足(F4),(F5),且正参数λ充分小时,方程(0.3)存在非平凡小解.当f满足(F4),(F6),(F7),且正参数λ充分小时,方程(0.3)存在变号小解.