论文部分内容阅读
该文在第一章考虑Banach空间中Volterra型一阶周期边值问题u′=H(t,u,ku)(1.1.1)u(0)=u(2π)(1·1.2)其中(ku)(t)=∫<,0>k(t,s)u(s)ds,(1.1.3)I=[0,2π],E为实Banach空间,H:I×E×E→E是Carathéodory函数,K:I×I→R+满足Carathéodory条件.主要假设条件为:(A<,1>)(i)α,β分别是PBVP(1.1.1),(1.1.2)的下上解,并且满足α(t)≤β(t),t∈I.(ii)α,β分别是PBVP(1.1.1),(1.1.2)的下上解,并且满足α(t)≥β(t),t∈I.(A<,2>)H(·,u,v)关于u,v强可测,H(t,·,·)对几乎所有t∈I连续.(A<,3>)对每个A>0,存在函数hA∈L<1>(I)使得‖H(t,u,v)‖≤h<,A>(t),a.e.t∈I,(u,v)∈E×E,并且‖ u ‖≤A,‖v‖≤A.(A<,4>)核k:I×I→R<,+>满足Carathéodory条件,即k(t,·)对每个t∈I可测,k(·,s)对几乎所有s∈I是连续的,并且k(t,s)≤f(s),a.e.t∈I,f∈L<1>(I).(A<,5>)(i)H(t,u,v)-H(t,ū,<->v)≥-M(t)(u-ū)-N(t)(v-<->v),a.e.t∈I.(1.2.5)其中α(t)≤ū≤u≤β(t),(kα)(t)≤v≤v ≤(kβ)(t),t∈I,M(t)>0,N(t)≥0,a.e.t∈I,M,N∈L<1>(I),满足∫<,0><2π>[M(t)+N(t)∫<,0>k(t,s)ds]dt<1.(1.2.6)(ii)H(t,u,v)-H(t,ū,<->v)≤ M(t)(u-ū)+N(t)(v-<->v),a.e.t∈I.(1.2.7)其中β(t)≤ū≤u≤α(t),(kβ)(t)≤v≤v≤(kα)(t),t∈I,M(t)>0,N(t)≥0,a.e.t∈I,M,N∈L<1>(I),并且满足∫<,0><2π>[M(t)+N(t)∫<,0>k(t,s)ds]dt≤1/2.(1.2.8)主要结论:定理1.4.3设E为自反空间,P是E中正规锥,(A<,1>)(i),(A<,2>)~(A<,4>),(A<,5>)(i)成立,那么存在单调序列{α<,n>(t)},{β<,n>(t)},其中α<,0>=α(t),β<,0>=β(t),使得lim<,n→∞>α<,n>(t)=ρ(t),lim<,n→∞>β<,n>(t)=γ(t),在I上依E中范数一致成立,ρ,γ分别是PBVP(1.1.1),(1.1.2)在[α,β]上的最小,最大解.定理1.4.4设E为自反空间,P是E中正规锥,条件(A<,1>)(ii),(A<,2>)~(A<,4>),(A<,5>)(ii)成立,那么存在单调序列{βK<,n>(t)},{α<,n>(t)},其中α<,0>=α(t),β<,0>=β(t),使得lim<,n→∞>βn(t)=ρ(t),lim<,n→∞>α<,n>(t)=γ(t),在I上依E中范数一致成立,ρ,γ分别是PBVP(1.1.1),(1.1.2)在[β,α]上的最小,最大解.该文第二章用迭代方法处理如下二阶周期边值问题:-u″=f(t,u),f∈C[I×E<*>,E<*>](2 .1.1)u(0)=u(1),u′(0)=u′(1).(2.1.2)其中I=[0,1].文[15]中为构造线性周期边值问题解的积分表达式,给出了极强的假设条件,该文用格林函数给出解的积分表达式,并证明其唯一性,从而大大减弱、简化了假设条件.与文[15]的不同之处还有该文考虑的是上解小于等于下解的情形.主要假设:(H<,1>)v<,0>,w<,0>∈C<2>[I,E<*>],w<,0>(t)≤v<,0>(t),t∈I,并且-v"<,0>≤f(t,v<,0>),v<,0>(0)=v<,0>(1),v′<,0>(0)≥v′<,0>(1);-w"<,0>≥f(t,w<,0>),w<,0>(0)=w<,0>(1),w′<,0>(0)≤w′<,0>(1),在I上成立.(H<,2>)f(t,u)-f(t,v)≤M(u-v),其中u≥v,u,v∈[w<,0>,v<,0>],M>0.主要结论:定理2.3.1设E<*>是可分的,P<*>是E<*>中正规锥,假设(H<,1>),(H<,2>)成立,并且M ≤ 1,那么存在单调序列{w<,n>(t)},{v<,n>(t)},使得lim<,n→∞> v<,n>(t)=ρ(t),lim<,n→∞> w<,n>(t)=γ(t),在I上依E<*>中范数一致成立.ρ,γ分别是PBVP(2.1.1),(2.1.2)在[w<,0>,v<,0>]上的最大,最小解.该章最后一节考虑非正常边值条件下解的存在性.看一下这一节中的假设条件:(B<,0>)α,β∈C<2>[I,E<*>],α(t)≤β(t),t∈I,对α(t)≤u<,2>(t)≤u<,1>(t)≤β(t),t∈I,f(t,u<,1>)-f(t,u<,2>)≥-M<2>(u<,1>-u<,2>).(B<,1>)(i)-α″≤f(t,α),t∈I,α(0)=α(1),α′(0)≥α′(1);(ii)-β″≥f(t,β),t∈I,β(0)=β(1),β′(0)≤β′(1);(B<,2>)(i)α(0)=α(1),α′(0)<α′(1)-α"≤f(t,α)-M<2>rα,t ∈I,r<,α>=[α′(1)-α′(0)](e+1)/2M(e-1).(ii)β(0)=β(1),β′(0)>β′(1)-β″≥f(t,β)-M<2>r<,β>,t∈I,r<,β>=[β′(0)-β′(1)](e+1)/2M(e-1).(B<,3>)(B<,1>)(i)和(B<,2>)(ii).(B<,4>)(B<,1>)(ii)和(B<,2>)(i).比较条件(B<,1>)(B<,2>),我们看到(B<,2>)中边值条件与(B<,1>)相反,但是我们加强了其他条件.条件(B<,2>)常被称为非正常边值条件.仍然运用单调迭代方法和半序方法,得到以下主要结论:定理2.4.1设E<*>是可分的,P<*>是E<*>中正规锥,(B<,0>)成立,则(B<,1>)~(B<,4>)中任一条件成立时,存在序列{α<,n>(t)},{β<,n>(t)},α<,0>=α,β<,0>=β,使得lim<,n→∞>α<,n>(t)=ρ(t),lim<,n→∞>β<,n>(t)=γ(t),在I上一致地、单调地成立.其中ρ(t),γ(t)分别是PBVP(2.1.1),(2.1.2)的最小最大解.