本文主要通过对散度算子应用局部L~2投影给出了在非光滑区域上求解二维Maxwell方程组及其特征值问题的稳定高效的新型投影连续有限元方法.以及通过应用虚拟元函数及其偏微分算子的局部投影,提出了在几乎任意多边形/多面体网格上逼近Stokes方程组的稳定高效的节点连续虚拟元方法.论文主要内容包括以下三个方面:(1)对带凹角的非凸非光滑区域上求解二维Maxwell方程组及其特征值问题提出并研究了一个新的Lagrange有限元方法,该方法让双旋度算子仍然保持原本的变分形式,而对散度算子应用一个分片常数L~2投影.该方法可应用于任何大于等于二阶的Lagrange元,并且是对称,正定的.我们主要分析了特征值问题和不定源问题的求解方法,因为该问题可能存在无穷奇异和无穷光滑特征函数,并且无法事先知道那个特征函数是奇异的或者光滑的.为此,我们应用重心细化剖分Lagrange元方法并且构造了一类关联旋度算子和散度算子的inf-sup条件,然后通过构造“对偶变量”和“原变量”的Fortin型差值,利用经典的Aubin-Nitsche理论证明了该方法对光滑解和奇异解都能达到最优逼近,并给出了最优误差估计.最后给出了Maxwell方程组特征值问题在L型区域上的数值计算结果,验证了我们的理论分析结论.(2)在一般的网格上提出了一种新的求解具有白噪声的随机Stokes方程组的虚拟元方法,该方法对于速度和速度的局部投影采用求解Poisson方程的最低阶虚拟元及其局部投影方法逼近,对于压力采用传统的不连续分片常数元逼近.我们通过加入了与压力跳跃有关的稳定化项构造并证明了inf-sup条件和该方法的稳定性.并应用随机Stokes方程组的Green函数和经典的Aubin-Nitsche对偶理论给出了不同范数下的最优误差界.最后给出了多边形网格上的数值结果,验证了理论分析结论.(3)在一般的网格上提出并研究了Stokes方程组的新型等阶稳定化虚拟元方法,该方法对速度和压力应用相同的最低阶局部节点连续虚拟元空间和相同的自由度分布.通过对速度和压力应用局部H~1投影,速度的散度算子应用局部L~2投影,使得与速度和压力相关的试验函数和检验函数都在每个网格单元上不需要显式定义和计算,从而使得该方法适用于几乎任意的网格.通过对局部双线性型增加压力网格依赖稳定化项克服了Stokes方程组等阶逼近的不稳定性,构造并证明了inf-sup条件和方法的稳定性,给出了能量范数以及速度和压力的L~2范数的最优误差估计.最后通过多边形网格上的数值结果,验证了理论分析结论和方法的有效性。