凸体几何是现代几何学的-个重要分支。等周不等式是凸体几何中最重要的不等式之一，关于其逆的研究涉及到John定理和卷积不等式等内容。体积比是联系Banach-Mazur距离和John定理的桥梁，体积比的估计在逆等周不等式的研究中起到了关键作用。Young不等式的几何推广使得用卷积具有了几何意义。 本硕士论文以凸体的体积比和等周不等式为主要研究内容。在第一章的前半部分我们介绍了凸几何分析的发展以及一些著名数学家所作的工作，第一章的后半部分介绍了我们所做的一些工作。 著名数学家F.John在1948年证明了凸体内部最大体积椭球的存在性和唯一性，这是许多后来工作的重要基石之一。在Ball和Barthe等人所作工作的基础上，我们得到了对称凸体与其投影、截面的体积比的关系，这是第二章第二节的主要内容。在第三节中，我们利用Santaló不等式以及其反向形式，证明了体积比的类似不等式。在第四节中我们证明了单形和超立方体体积比的渐进性质。此外，在第六节中我们得到了关于凸体外体积比的几个不等式。 在第三章，我们介绍了等周不等式，重点介绍由Ball在1991年得到的，以推广的Brascamp-Leib不等式为工具，建立在体积比估计基础上的一个逆等周不等式。