【摘 要】
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连续整数幂和定义为即前n个正整数的m次幂的和.我们知道,下标为奇数的连续整数幂和S2m-1(n)可以由S1(n)的多项式表示,并且其系数与Bernoulli数有关.下标为偶数的连续整数幂和
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连续整数幂和定义为即前n个正整数的m次幂的和.我们知道,下标为奇数的连续整数幂和S2m-1(n)可以由S1(n)的多项式表示,并且其系数与Bernoulli数有关.下标为偶数的连续整数幂和S2m(n)可以由S1(n)的多项式与S2(n)的乘积表示,并且其系数与Bernoulli数有关.对此结论,本文给出了不同证明.首先,本文分别建立了多项式和多项式关于m的递推关系式：进而发现多项式Pm(n)可以用关于S1(n)的多项式来表示.多项式Qm(n)可以用关于S1(n)的多项式与S2(n)的乘积来表示.由下标为奇数的连续整数幂和S2m-1,(n)与Pm(n)的关系式：以及下标为偶数的连续整数幂和S2m(n)与Qm(n)的关系式：即可证明上述结论.其次,本文介绍了第二类Stirling数的几个等价定义,并且给出了复合函数高阶求导公式的新证明,进而利用此公式及Bell多项式的性质,证明了Bernoulli数与Stirling数之间的关系.
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