自从1990年Pardoux和Peng([90])首先研究了如下非线性倒向随机微分方程(简称BSDE): BSDE理论已被广泛研究与应用,特别是在随机控制,随机微分对策,金融数学以及偏微分方程(简称PDE)方面.1994年Pardoux和Peng ([91])为了给出随机偏微分方程(简称SPDE)的概率表达,提出了一种倒向双重随机微分方程(简称BDSDE):由于在随机偏微分方程和随机控制问题中的重要性,BDSDE理论得到广泛的研究.本文我们将进一步深入研究双向重随机系统的理论及相关问题.以下是本文的章节目录：1.第一章引言；2.第二章带有约束条件下的倒向重随机微分方程；3.第三章带有约束条件下的正倒向重随机微分方程；4.第四章倒向重随机系统的最优控制问题；5.第五章正倒向重随机系统的最优控制问题.下面将更进一步的介绍论文的内容以及论文的结构.在第一章引言中,介绍了第二章到第五章中我们研究的主要问题.第二章中,我们主要研究各种约束条件下倒向重随机微分方程解的性质与相应的随机偏微分方程.具体研究了连续系数的倒向重随机微分方程,非连续系数的倒向重随机微分方程,带跳倒向重随机微分方程与相应的随机偏微分-积分方程,以及平均场倒向重随机微分方程与相应的随机偏微分方程.本章来自于1. Yufeng Shi and Qingfeng Zhu, A Kneser-type theorem for backward doubly stochas-tic differential equations, Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B,14(2010)1565-1579.(SCI)2. Qingfeng Zhu and Yufeng Shi, A class of backward doubly stochastic differential equa-tions with discontinuous coefficients, Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series,(2011) DOI:10.1007/s10255-011-0136-0.(SCI)3. Qingfeng Zhu and Yufeng Shi, Backward doubly stochastic differential equations with jumps and stochastic partial differential-integral equations, China Annals of Mathematics-Series B,33(2012)127-142.(SCI)4. Yufeng Shi, Tianxiao Wang and Qingfeng Zhu, Mean-field backward doubly stochastic differential equations and applications,已投稿.以下是本章的主要结论：首先研究连续系数的倒向重随机微分方程.考虑如下BDSDE：定理2.3.11(BDSDE的Kneser定理)假设(H2.2.2),(H2.3.1)和(H2.3.2)成立.给定ζ∈L2(Ω,FT,P;R),(Y(t),Z(t))∈S2([0,T]; R)×M2(0,T;Rd)和(Y(t),Z(t))∈S2([0,T];R)×M2(0,T;Rd)分别是BDSDE(1)的最小解和最大解.假设ζ=g(t,y,z)关于变量z的反函数为z=h(t, y,z):Ω×[0, T]×R×Rl→Rd,且h(t,y,z)关于t,y,z满足(H2.2.2).对任意t0∈[0,T]和η∈L2(Ω,Tto,P;R)成立BDSDE (1)至少存在一个解(Y(t),Z(t))t∈[0,T]∈S2([0,T];R)×M2(0,T;Rd)满足并且,在S2([0,T]；R)×M2(0,T;Rd)中,BDSDE(1)的解集是封闭的.即,对于BDSDE(1)的任意解序列(Yn(t),Zn(t))t∈[0,T],n=1,...,在S2([0,T];R)×M2(0,T;Rd)中,当n→∞时,如果(Yn,Zn)→(Y,Z),则(Y,Z)也是BDSDE(1)的解.其次考虑非连续系数的倒向重随机微分方程,得到以下结果：定理2.4.3假设(H2.4.1)-(H2.4.4)成立,ζ∈L2(Ω,FT,P),则BDSDE(1)至少存在一个解(Y(f),Z(t))∈s2([0,T]；R)×M2(0,T;Rd).定理2.4.10假设(H2.4.1)和(H2.4.3)-(H2.4.5),ζ∈L2(Ω,FT,P),则BDSDE(1)至少存在一个解(Y(t),Z(t))∈S2([0,T];R)×M2(0,T;Rd)并且,BDSDE(1)存在最小解(兰(t),Z(t)),即,对BDSDE(1)的任意解(Y(t),Z(t)),满足Y(t)≥Y(t),P-a.s.,(?)t∈[0,T].然后考虑如下带跳倒向重随机微分方程(简称BDSDEP1:得到如下解的存在唯一性结果：定理2.5.5假设(H2.5.1)-(H2.5.4)成立,若f1=0,则BDSDEP(2)存在唯一解定理2.5.6假设(H2.5.1)-(H2.5.4)成立,则BDSDEP(2)存在唯一解(Y(t),Z(t),K(t)).考虑Rm上的如下带Poisson跳的随机微分方程(简称SDEP):这里考虑如下BDSDEP(为了记号简单,记Y(s)=Yt,x(s)),这里接下来我们建立BDSDEP(4)和如下拟线性二阶抛物型随机偏微分-积分方程(简称SPDIE)的联系：定理2.5.9假设上述条件成立,且b,σ, h, f和g是三阶连续可微的,中是二阶连续可微的.假设SPDIE(5)存在唯一解u(t,x)∈C1,2(Ω×[0,T]×Rm;Rn)那么,对于给定的(t,x),u(t,x)可以表示为这里Y(t)由方程(3)和(4)唯一确定.最后研究平均场倒向重随机微分方程(简称MF-BDSDEs):其中得到如下解的存在唯一性结果：定理2.6.2假设(H2.6.1)成立,则MF-BDSDE (6)存在唯一解(Y.Z)∈S2([0,T];Rn)x M2(0,T;Rn×d).考虑如下SDEs:和倒向方程这里其中k=b,σ;l=f,g,且接下来我们建立MF-BDSDE(8)和如下非局部随机偏微分方程(SPDE)的联系：定理2.6.5假设b,σ,f和g满足线性增长和Lipschitz条件,hxx(x,(X0,x0(T)))存在且EE’|h(Xt,x(T),(X0,x0(T)))|2<∞假设SPDE(9)存在解u(t,x)∈C1,2(Ω×[0,T]×Rm；Rn)那么,对于给定的(t,x),u(t,x)有如下表示这里Yt,x(t)由方程(7)和(8)确定.并且,方程(9)的解u(t,x)也是唯一的.第三章中,我们主要研究各种约束条件下正倒向重随机微分方程解的性质.具体研究了正倒向重随机微分方程的连续性方法与相应的随机偏微分方程,带跳的正倒向重随机微分方程与相应的随机偏微分-积分方程,以及平均场正倒向重随机微分方程与相应的非局部随机偏微分方程.本章来自于1. Qingfeng Zhu and Yufeng Shi, Forward-backward doubly stochastic differential equa-tions and related stochastic partial differential equations, Science China:Mathemat-ics,55(2012)2517-2534.(SCI)2. Qingfeng Zhu and Yufeng Shi, Forward-backward doubly stochastic differential equa-tions with random jumps and related stochastic partial differential-integral equations, submitted.3. Qingfeng Zhu and Yufeng Shi, Mean-field forward-backward doubly stochastic dif-ferential equations and related nonlocal stochastic partial differential equations, Ab-stract and Applied Analysis. Vol.2014, Article ID194341,10pages, http://dx.doi. org/10.1155/2014/194341(2014)(SCI)以下是本章的主要结论：首先考虑如下正倒向重随机微分方程(简称FBDSDE)：记任何H[0,T]的元素记为r=(.f,F,g,G,h).得到如下结果：定理3.3.4设T>0,Γ1,Γ2∈H[0,T]到被桥连接着,那么,Γ1∈S[0,T]当且仅当Γ2∈S[0,T].定理3.3.12设T>0,Γ=(f,F,g,G,h)∈H[0,T]满足(M)(或(M’).那么Bs(r0；[0,T])∩Bs(Γ；[0,T])≠φ.因此,Γ∈S[0,T].定理3.3.14设T>0,Γ∈H[0,T].如果Φ∈Bs(Γ；[0,T]),那么存在常数ε>0,使得对于任意的Γ’∈H[0,T]满足都有Φ∈Bs(rΓ’；[0,T]).命题3.3.16设T0%>0,Γ=(f,F0,0,h)为下列形式这里如果那么Γ∈S[0,T],(?)T∈(0,T0].定理3.3.17设T0>0,T∈[0,T0],r=(f,F,0,0,h)由(11)式给出,且设Bs(Γ；[0,T])≠φ.那么存在ε>0,使得对任意的β∈R和Γ≡(f,F,g,G,h)∈H[0,T]满足下列FBDSDEs:存在唯一可测解u≡(y,Y,z,Z)∈S[0,T].对任意x∈Rn,考虑如下FBDSDE:如果u(t,x)∈C1,2(Ω×[0,T]×Rn;Rm是如下二阶拟线性抛物型SPDE的解：定理3.3.19设FBDSDE (13)中的Γ=(f,F,g,G,h)是确定性的,Γ∈S[O,T],f,g,F,G是三阶连续可微函数,h是二阶连续可微函数.如果(u,v)是SPDE (14)的解,那么成立,这里(Y,Z)由方程(14)唯一确定.其次研究由Brown运动和Poisson过程驱动的正倒向重随机微分方程(简称F-BDSDEP):得到如下存在唯一性结果：定理3.4.2假设(H3.4.1)-(H3.4.3)成立,则FBDSDEP(15)存在唯一解考虑如下FBDSDEP:如果存在u(t,x)∈C1,2(Ω×[0,T]×Rn;Rm)是如下二阶拟线性抛物型随机偏微分-积分方程(SPDIE)的解：定理3.4.14假设(H3.4.1)-(H3.4.3),(H3.4.6)成立.如果(u,v,ρ)是SPDIE(17)的解,那么成立,这里(y,Y,z,Z,K)是方程(16)的唯一解.最后研究如下平均场正倒向重随机微分方程(简称MF-FBDSDE):得到如下存在唯一性结果：定理3.5.3假设(H3.5.1)-(H3.5.3)成立,则方程(18)在M2(0, T; Rn+n+n×l+n×d中存在唯一解.如果存在u(t,x)∈C1,2(Ω×[0,T]×Rn;Rn是如下二阶拟线性非局部SPDE:定理3.5.6假设MF-FBDSDE (18)中的(F,f,G,g,Φ)是确定性的,MF-FBDSDE (19)存在唯一解.F,f,G和9是三阶连续可微的,Φ是二阶连续可微的.如果(u,v)是非局部SPDE (19)的解,那么成立,其中(Y,Z)由方程(18)唯一确定.第四章中,我们主要研究倒向重随机系统的最优控制问题.具体研究了带跳倒向重随机系统的最优控制问题；研究了平均场倒向重随机系统的最优控制问题；研究了部分信息下倒向重随机系统的最优控制问题；研究了部分可观测倒向重随机系统的最优控制问题.本章来自于：1.朱庆峰,王鑫,石玉峰.带跳的倒向重随机系统的最大值原理及其应用,中国科学：数学,第43卷,第12期,2013年12月,1237-1257.2. Yufeng Shi, Tianxiao Wang and Qingfeng Zhu, Mean-field backward doubly stochastic differential equations and applications, submitted.3. Qingfeng Zhu and Yufeng Shi, Optimal control of backward doubly stochastic systems with partial information, accepted by IEEE Trans Autom Control.(2014)(SCI)4. Qingfeng Zhu, Tianxiao Wang and Yufeng Shi, Maximum principle for partially observed optimal control of backward doubly stochastic systems,30th Chinese Control Conference,2011.(El)以下是本章的主要结论：首先考虑如下带跳的倒向重随机系统：引入性能指标得到局部形式和全局形式的最优条件：定理4.2.4(局部形式的必要性最优条件)假设(y(·),z(·),r(·,·),u(·))是最优控制问题{(20),(21)}的最优控制组,则定理4.2.5(局部形式的充分性最优条件)假设(H4.2.1)成立,Φ关于y为凸的,H(t,y, z,r(·),v,p(t),q(t))关于(y,z,r(·),v)为凸的.如果u满足(22),则u为控制问题{(20),(21)}的一个最优控制.定理4.2.6(全局形式的必要性最优条件)假设(H4.2.1)成立.假设(y(·),z(·),r(·,·),u(·))是最优控制问题{(20),(21)}的最优控制组,函数H(t,y(t),z(t),r(t,·), v,p(t),q(t))关于v为凸的.则定理4.2.7(全局形式的充分性最优条件)假设(H4.2.1)成立.假设Φ关于y为凸的,函数H(t,y,z,r(,·),v,p(t),q(t))关于(y,z,r(·),v)为凸的.如果u满足(23),则u为控制问题{(20),(21))的一个最优控制.其次研究平均场倒向重随机系统的最优控制问题.考虑如下MF-BDSDE:性能指标为定理4.3.4(随机最大值原理)设(Y(.),Z(.),u(.))是控制问题{(24),(25)}的最优轨迹.那么(?)u∈U, a.e. t∈[0,T],a.s.其中然后研究部分信息下的倒向重随机系统的最优控制问题.考虑如下倒向重随机系统性能指标为我们的部分信息最优控制问题是寻找容许控制v(·)∈uad使得(27)取到最小值,满足(26),即定理4.4.1(部分信息充分最大值原理)假设(H4.6.5)和(H4.4.6)成立.那么如下最大值条件成立：那么u(t)是部分信息最优控制问题(26)-(28)的最优控制.定理4.4.2(部分信息必要最大值原理)假设u(·)∈uad,对任意有界的θ(·)∈uad,存在δ>0,使得任意的β∈(-δ,δ),成立u(·)+βθ(·)∈uad,而且函数h(β)：=J(u(·)+βθ(·)),β∈(-δ,δ)在β=0达到最小.假设对应于可允许控制组(y(t),z(t),u(t))的对偶方程存在一个的适应解(p(t),q(t)),那么对几乎所有的t∈[0,T],最后研究一类部分可观测的倒向重随机最优控制问题,我们考虑下面的随机控制系统：带有观测方程指标泛函：定理4.5.3(部分可观测的随机最大值原理)假设(H4.5.1)和(H4.5.2)成立.令u(·)是部分可观测最优控制问题的最优控制,则第五章中,我们主要研究正倒向重随机系统的最优控制问题.具体研究了部分信息下正倒向重随机系统的最优控制问题,得到了充分性和必要性最大值原理.研究了部分可观测正倒向重随机系统的最优控制问题,得到了最大值原理.本章来自于：1. Yufeng Shi, Liangquan Zhang and Qingfeng Zhu, Maximum principle for fully cou-pled forward-backward doubly stochastic systems with partial information, submitted.2. Yufeng Shi and Qingfeng Zhu, Partially observed optimal control of forward-backward doubly stochastic systems, ESAIM:Control, Optimisation and Calculus of Variations,19(2013)828-843.(SCI)以下是本章的主要结论：首先研究了部分信息下正倒向重随机系统的最优控制问题.考虑如下正倒向重随机系统性能指标为：部分信息的随机最优控制问题就是寻找一可允许控制u(·)∈UAd,使得性能指标(34)达到最小,即定理5.2.1(部分信息充分的随机最大值原理).假设(y(·),Y(·),z(·),Z(·),u(·))是一个可允许控制组,且其对应的对偶正倒向重随机微分方程存在适应解(p(t),q(t),k(t),h(t)).进一步假设对所有的t∈[0,T],H(t,y,Y,z,Z,v,p(t),q(t),k(t),h(t))关于(y,Y,z,Z,v)是凸的,γ(Y)关于Y是凸的,Φ(y)关于y是凸的,而且成立部分信息的最优性条件那么u(t)是部分信息的随机最优控制问题的最优控制.定理5.2.2(部分信息必要的随机最大值原理)假设u(·)∈uad,对任意有界的θ(·)∈Uad,存在δ>0,使得任意的β∈(-δ,δ),成立u(·)+βθ(·)∈uad,而且函数h(β)：=J(u(·)+βθ(.)),β∈(-δ,δ)在β=0达到最小.假设对应于可允许控制组(y(t),夕(t),z(t),Z(t))的对偶方程存在一个的适应解(p(t),q(t),k(t),h(t)),那么对几乎所有的t∈[0,T],其次研究部分可观测正倒向重随机系统的最优控制问题.我们假定状态过程(y(·),Y(.),z(.),Z(.))不能直接观测到,但控制者可以观测到如下的与之有关的某个噪声过程X(·),满足观测方程指标泛函：我们的部分可观测的随机最优控制问题就是寻找v(·)∈uad,使得性能指标(37)达到最小值,满足(33)和(36).也就是说定理5.3.5(部分可观测随机最大值原理)假设(H5.3.1)-(H5.3.4)成立.令u(·)是部分可观测最优控制问题(38)的最优控制,(y(·),y(·),z(·),Z(·))是相应的最优轨线,那么