本文提出了灰色统计的基本思想，从灰色主成分分析和灰色因子分析两方面进行了理论和实证的探讨与分析。 1 灰色统计方法的基本思想 由包含现实信息的少数据序列所表现的规律，称为现实规律。灰色系统理论通过序列的生成和开发，致力于现实规律的探讨，而数理统计则致力于统计历史规律的研究。 两者研究的数据对象虽然不同，但殊途同归，两者都是通过数据的表面特征去寻找数据所蓄含的内在规律。 对于“灰”性较大的数据，显然是首选灰色系统的方法，但用灰色方法处理后的结果，如灰色关联度、灰色关联度矩阵等，可以看作是统计范畴内的相关系数、相关阵的满意解或近似解，仍具有统计范畴内的相关系数、相关阵的内涵。因此我们可以仍然沿用相应的统计方法继续处理这些结果，从而可以求得目标的满意解、近似解。 2 灰色主成分分析的基本理论及灰色主成分景气指数 我们所研究的灰色主成分分析是指灰色关联主成分分析，其基本思想是根据序列曲线形状的相似程度来判断其联系是否紧密。 设ε_ij为X_i与X_j的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。 ε_ij满足：（1）0＜ε_ij≤1；（2）ε_ij=ε_ji；（3）ε_ii=1。 记X=（X₁，X₂，…，X_P）′，X₁，X₂，…，X_P的灰色绝对关联度矩阵为V=(ε_ij)_p×p，即 显然，V是对称正定阵，且V是原序列组的统计范畴内的相关阵的满意解或近似解。 令u=（u₁，u₂，…，u_P）′，v=（v₁，v₂，…，v_P）′，x=u′X，y=v′X u′Vv定义为x=u′X与y=v′X的灰协方差，记为Gcov（x，y）。因Gcov（x，y）是x=u′X与y=v′X的统计范畴内的协方差的满意解，故原有的线性的运算性质仍适用。 同理，我们可定义x的灰方差，记为Gvar（x），Gvar（x）=Gvar（u′X）=u′Vu。 ti＝！口，－1－．‘…1＿1 下Y ”－”l’：”p．’—— PP LIVatt口人0＝》t。；．口＝t ／t＝tat t“IJ＝l a’a＝l 因此，问题归结为在条件a’a＝l（此时称a为单位化向量）下，求a使a’Va最大。 定理 1 设为 a任一尸维单位向量。则 max a’Va＝人，且 a叫，；时，a’Va＝人；mx a’Va＝几，j二 2，3，…，尸，且当 j二 11；时，1’M二人D其中人，人，…，人为厂的特 征 根，U 是 正 交 阵，U17I’二呐（A，…，人）主八人ZK 2… 2人＞ 0，U’二（11；，11＊，…，u＊ 即 11。为 U’的第／歹＊ 定理 2 记y；二 l二X，y；二丁l二X，i土J，则 G COV（y。，y；）＝11二Fll；二 0，即 y。与y；是不灰关联的。 基于定理 1和定理 2，定义 y；＝11X为 X的第 i主成分。另外，显然有 PP P 尸＝户厂＝”入人，；，S＝入工。八二／／＊ 二人 I＝IZ＝11＝l 7”K。 ＿．－．、＿＿．K。。，＿．、．、。，＿＿。＿＿＿。＿、．、，＿ 我们称二二为第 i个主成分y；的贡献率，i1，2，…，尸；称 cr＝上上一一为前厂个 p 尸主成分的累积贡献率。一般取 c－三 0．80的最小厂作为所取主成分的个数。 我们对济南市宏观经济一致指标组的作了灰色主成分分析并合成了灰色主成分景气指数。得到的一致指标组景气指数时间序列如图1所示。 O．4j MI O．3］It gbl o．2d 并 民 歹皂J一岛 彦、j枉D 口．刁叫 忌歹 琶1 、J夕兔 g》凹一地个＿…＿．J炉 飞I O．0］”11％ f YI·O．1］”％＄·o．二L一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一卜一一一一一一一一一一一一一一卜一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一J 刁＊＊＊日d 乞＊口6刁a 司＊＊701 刁刁＊70刁19＊o0】1＊＊8031＊＊＊01 刁＊＊90320000刊20000z20m 01 图1 23灰色因子分析今公因子模型 假定随机变量P二（ ，＊乡…，P／俩足 ypxl＝A／＋l 尸”qq。IP。1 其中罗q三尸，／二人，人，…，人）’和s＝（P；，s？，…，Pp）均为随机向量，A叫a0玉为常矩阵，且满足 （1） 厂O卜0，＊V）＝＊，j二1，2，…尸 （11）剧刀＝0，贝刀＝7，COO（f／卜0 （豆1）厂k） ＊，D（二卜 址昭，一…，了P） 我们把人，人，…人称为公共因子，它们是不可观测的随机变量。S；．S，，…。，称为特殊因子。由（iL门）可知，各公共因子之间相互独立?