快速、精确的求解椭圆方程是数值计算中重要的一个环节，Poisson方程是椭圆方程一个特殊和重要的形式。在流动、传热、电磁场等问题的数值模拟中，Poisson方程的求解是一个常见的问题。随着数值计算这门学科的不断发展，人们对Poisson方程的求解精度和求解速度有了更高的要求。由于谱方法具有直接、快速的特点以及无法比拟的高精度，谱方法已经成为一个研究热点。 本文采用了Chcbyshcv和Fourier多项式对区域离散以及应用配置点谱方法离散Poisson方程。本文研究的主要内容是采用矩阵相乘谱方法来求解极坐标系和圆柱坐标系下的Poisson方程，边界条件包括第一类和第二类的Poisson方程。在极坐标与圆柱坐标系下求解Poisson方程会产生奇点问题，本文分别采甩两种方法开发了Poisson方程求解器避免这个问题，并且不需要极条件。本文详细阐述了自行开发的各类求解器的求解过程，并且针对不同算例进行了比较和验证计算。计算结果证明本文开发的求解器都具有直接、快速、高精度的特性。最后，利用自行地开发的Poisson求解器对引自文献有精确解的压力和速度的Navier-Stokes方程进行了求解，其中速度和压力分别为第一类和第二类边界条件，得到了精度很高的完整的速度场和压力场。 所有计算过程分别运用Fortran和Matlab语言编写的程序计算，误差分析运用Matlab软件完成。