图像在形成、传输、压缩等过程当中，受到外部环境以及硬件条件等的影响，不可避免的将使图像质量受损。图像复原是指从输入的降质图像中恢复出高质量图像的过程。基于稀疏表示的图像复原技术从输入图像中学习特征，对图像准确重构，且具有鲁棒性强、自适应的特点，是目前图像复原领域的热点研究主题。目前的图像复原算法，大多没有充分考虑图像内部的几何结构特征，因此重建质量受到影响，由于直接在原始数据空间进行计算，计算量庞大，且图像内部特征自相似的特点，将产生重复计算的问题。针对上述问题，围绕基于结构的图像复原方法，将流形学习的思想引入到图像复原问题中，分析了流形与图之间隐含的内在关系，将流形学习理论中的Laplace-Beltrami算子与图的拉普拉斯特征矩阵对应起来。本文的具体研究内容为：1.本文针对目前的图像复原算法没有考虑图像固有的几何特征的问题，提出了基于图像局部结构正则化和统计学特征的图像复原方法。首先分析了输入图像数据的分布情况，建立了k-NN图来表征图像的局部几何结构特征，作为结构正则项；根据图像在统计学中平移不变性的特点，构建自相似矩阵，作为问题的非局部惩罚项。在局部与非局部约束的共同作用之下，求得唯一的最优解。2.分析了流形与图的内在隐含联系，将图的拉普拉斯矩阵求解与流形学习算法中的Laplace-Beltrami对应起来，使流形学习中的算法能够引入到图上的函数的相关计算中。讨论图的加权矩阵的选择。分析了热力学方程与流形学习之间的相互影响关系，将热核方程选择为图的加权矩阵。在自然关系当中，在同一个k邻域内的数据点，离中心点的距离不同，则其对中心数据点的影响力不同。热核方程中，权值与距离成反比，比简单加权方式更能精确的表征自然图像的内部特征。3.提出了基于矩阵分解和结构特征的数字图像质量提高方法。将流形学习中的拉普拉斯特征算法引入到矩阵分解过程当中，字典更新在流形嵌入空间执行，图的拉普拉斯矩阵保存了图像的几何结构特征，矩阵分解的思想有效的降低了计算复杂度，加快了重建速度，并得到高质量的重建图像。4.本文实现了图像复原的三个方面的问题的解决：图像去噪、图像去模糊、图像超分辨率重建。