分数阶微分方程是在研究复杂动力系统时出现的一类方程,它能更准确地描述包含自然科学、工程、生物工程以及金融等领域中的诸多现象。分数阶微分算子是一种全局算子,如果用传统的局部算法来求解,如差分法和有限元法,将失去其在求解整数阶方程时所具有的优势。而谱方法作为一种高精度的全局性方法,非常适合数值求解非局部问题,且能够有效的处理分数阶微分算子中的奇异核函数。本文主要研究若干分数阶偏微分方程的高效谱方法,具体内容安排如下:第一章,概述了分数阶微分方程数值解的研究现状,陈述了本文的研究动机和涉及的主要内容,并给出了一些本文所需的预备知识。第二章,提出了时间分数阶扩散方程（TFDEs）的谱/时空谱方法。由于时间分数阶微分算子不是自伴的,这使得对角化过程非常不稳定,从而产生了一个本质的困难,我们将提出一种新的方法来克服这一困难。新的算法非常有效,且计算成本和基于对角化的算法[163]几乎相同。此外,由于TFDEs在时间方向具有奇异性,我们还将时间方向的谱方法推广到了 Enriched谱方法,即把奇性项作为基函数加入到数值格式中来提高数值解的逼近精度。最后,我们给出了所提谱方法/时空谱方法的误差估计,数值结果也验证了所提方法的高效性。第三章,首先,根据不同的边界条件,如Dirichlet,Neumann和混合边界条件,构造分数阶Laplacian算子的类傅里叶基函数作为其离散特征函数。其次,提出一种基于类傅立叶基函数的新型时空谱方法来求解有界区域上空间分数阶PDEs。然后,分析了分数阶边值问题和空间分数阶PDEs的误差估计,这对分数阶Laplacian算子的数值分析起到了至关重要的作用。最后,我们提供了充足的数值结果来验证所提方法的高精度和高效率。第四章,引入了一族新的广义Hermite函数（GHFs）,其权函数为∣X∣2μ,μ＞-1/2,由此提出了无界区域上分数阶PDEs的一种新的谱方法。新定义的广义Hermite函数与傅立叶变换后的分数阶Laplacian算子有紧密的联系,因此它可以作为谱方法求解无界区域中分数阶PDEs的一族更自然的基函数。此外,我们还建立了广义Hermite函数的谱逼近,数值结果也验证了所提方法的高效性。第五章,推导了无界区域上分数阶PDEs的Caffarelli-Silvestre扩展问题,即将d维分数阶PDEs扩展成简单的d+ 1维的整数阶方程。但是扩展问题的解在第d+1维上具有奇异性,传统的谱方法无法达到理想的逼近精度,为此我们在第d + 1维上用Enriched谱方法来克服奇性所带来的影响。另一方面,无界区域上分数阶PDEs的解在无穷远处衰减地非常慢,这使得一般的数值方法很难达到想要的收敛率,因此在前d维上使用有理谱方法来提高数值解的收敛精度。数值结果表明,所提方法能非常有效的数值求解无界区域上的分数阶PDEs,并且在很大程度上要优于现有方法。第六章,我们对分数阶Schr（?）dinger算子（FSO）的基本谱间隙一前两个最小的（且不同的）特征值之间的间距一进行了渐近和数值方面的研究,并对FSO的基本谱间隙建立了一个间隙猜想。我们首先介绍了有界域上具有齐次Dirichlet边界条件的FSO,其中分数阶Laplacian算子通过局部分数阶Laplacian定义（即谱分解定义）或者通过经典分数阶Laplacian算子（即Fourier变换定义）。对于有界域上含局部分数阶Laplacian算子或经典分数阶Laplacian算子的FSO,我们用解析方法分析了简单几何区域上的没有含势的基本谱间隙,并数值计算了复杂几何区域上和/或含不同凸势的基本谱间隙。基于渐近分析以及大量的数值结果,我们得到了关于FSO的基本谱间隙的间隙猜想。令人惊讶的是,对于两维或者更高维,基本谱间隙的下界不仅依赖于区域的直径,还依赖于区域中最大的内切球的直径,这与整数阶Schr（?）dinger算子的情形完全不同。此外,我们还将FSO的基本谱间隙推广到在全空间以及有界区间上具有周期边界条件的情形。