在编码理论中,循环码的纠错能力取决于循环码的最小非零重量,因此循环码的重量分布极具研究价值。但是循环码的重量分布一般来说是个困难问题,因为实际上它是由对应的指数和的值分布来决定的,至今为止大多数循环码的重量分布还是未知。指数和是数论中的一个重要分支。本文我们主要研究指数和在循环码以及线性码中的应用,包括循环码以及线性码的重量分布的计算。本文的主要工作如下:1)令Fq为q个元素的有限域,q=pm,π是Fq的本原元,我们研究的是对偶码具有两个相同阶零点的循环码的重量分布,假设h(x)是以π-1和π-d为根的可约多项式,其中d =(pm-1)(pk+3)+2(pk+1)/4。我们构造以h(x)为校验多项式的循环码C[3m-1,2m],码长为n = 3m-1,维数为2m,码集合C可以表示为:C = {c(α,β):α,β∈Fq}其中c(α,β)=(c0,c1,…,cn-1),(α,β∈Fq),c1 =Trpiq(απid + βπi)∈Fq0,0≤i≤n-1根据编码理论的知识,首先给出码字c的重量表达式,把这个问题转化到求T(α,β)=(?)x(axd+βx):α,β∈Fq这个指数和的值分布,我们分别令x = y2和x = θy2,其中θ是域Fq0上的非平方元,可以得到一个关于二次型函数的指数和值分布的问题,G(α,β)=(?)x(axpk-1+βx2),我们算出T(α,β)的取值属于{±p(mt)/2,0},以此求出循环码C的重量分布,最后我们将得到一类五重量的循环码和一类三重量的循环码。2)我们的第二个工作是借助定义集D来构造二进制线性码C,q = 2m,1 ≤h ≤ m/2,l =(m,h),我们的定义集是D = {x|x ∈ GF(q)*:Tr(x)= 0}构造的二进制线性码是CD = {Tr(ax12h+1),Tr(ax22h+1),...,Tr(axn2h+1):a ∈ GF(q)}根据重量分布的定义,我们推导出一个关于指数和的计算式,最终得到一个三重量的线性码以及其精确的重量分布。