本文研究一类奇异半线性椭圆型方程的Dirichlet问题正的古典解的局部存在性及其正则性以及一类含对流项的二阶半线性椭圆型方程爆破解的局部存在性。 全文包括三大部分： 第一章，介绍了历史背景、研究的主要问题、预备知识和研究的基本方法。 第二章考虑一类奇异半线性Dirichlet问题-△u+k(x)u-α=λup+σ，x∈Ω；u＞0，x∈Ω；u=0，x∈Ω。古典解(在C2,γ(Ω)∩C(Ω)中)的存在性。其中，Ω是RN(N≥2)中的有界域，Ω∈C2,γ，γ∈(0，1)，α∈(0，1)，λ≥0，σ＞0，p＞0，k(x)∈C1(Ω)，k(x)＞0(x∈Ω)。应用奇异非线性Dirichlet问题上、下解的方法以及极大值原理，得到了这类奇异半线性Dirichlet问题正古典解的存在性，最后进一步给出来解的正则性。 第三章考虑如下模型问题-△u+k(x)·up=|u|q，x∈Ω；u=+∞，x∈Ω。其中，Ω是RN(N≥3)中的C2有界区域，q∈(1，2)，p≥q/2-q＞1。在这一章中应用摄动方法，结合古典上、下解方法，得到该问题爆破解的存在性。