【摘 要】
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微分方程边值问题是微分方程理论的重要分支,在自然科学和工程技术等诸多领域有着广泛应用.近年来,人们非常关注微分方程多点边值问题的研究,多点边值问题起源于二十世纪八十年代,此后,很多学者讨论了更一般的非线性多点边值问题,其中包括分数阶微分方程边值问题,得到了许多卓有成效的成果.共振是自然界的常见现象,反映在数学模型上就是微分方程共振边值问题,共振边值问题解的存在性研究是人们研究的热点问题之一,有许多
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微分方程边值问题是微分方程理论的重要分支,在自然科学和工程技术等诸多领域有着广泛应用.近年来,人们非常关注微分方程多点边值问题的研究,多点边值问题起源于二十世纪八十年代,此后,很多学者讨论了更一般的非线性多点边值问题,其中包括分数阶微分方程边值问题,得到了许多卓有成效的成果.共振是自然界的常见现象,反映在数学模型上就是微分方程共振边值问题,共振边值问题解的存在性研究是人们研究的热点问题之一,有许多重要成果.但是对于共振多点边值问题正解的研究并不多见,特别对于分数阶共振多点边值问题的正解并没有研究.本文在已有文献的基础上,利用Leggett-Williams不动点定理、Mawhin连续性定理及其推广形式、临界点理论等方法在共振、非共振情况下对几类微分方程边值问题解和正解的存在性进行研究,在一定的条件下得到解和正解的存在性结果.本文分为六章,具体如下:第一章绪论介绍了微分方程的背景、研究现状、一些基本结果和本文的主要工作.第二章利用Leggett-Williams不动点理论研究了分数阶微分方程共振边值问题正解的存在性.对于分数阶微分方程共振边值问题的研究结果已有很多,如Dirichlet边值问题、反周期边值问题.但是对分数阶共振多点边值问题正解的研究结果还没有出现.因而,本文在前人研究的基础上进一步对此问题从三个方面进行研究,分别为:分数阶共振多点边值问题、分数阶高阶共振两点边值问题、无穷区间上分数阶共振多点边值问题等正解存在性.第三章利用Mawhin延拓定理对分数阶微分方程共振边值问题解的存在性进行了研究.此前对此问题在核空间为二维的情况下研究时,往往需要构造特殊的投影算子.本章研究结果不需要构造此类投影算子,所以在一定程度上对以往的工作是一个改进和推广.第四章利用葛谓高老师提出的Mawhin延拓定理的一个推广形式,对分数阶p-Laplacian方程共振边值问题进行了研究.分别研究了核空间为二维的情况下一类p-Laplacian方程共振多点边值问题解的存在性和一类分数阶p-Laplacian方程共振边值问题正解的存在性,对前者弱化了已有工作中的条件限制,对后者尚没有相关研究成果.第五章利用临界点理论研究了一类二阶脉冲微分方程耦合系统解的存在性和一类具有变分结构的分数阶p-Laplacian方程解的存在性.虽然此前一些学者利用山路定理、环绕定理等理论对单个方程的情形进行了研究,但对于脉冲微分方程系统解的存在性还没有研究,本结果丰富了以往的一些研究结果.而对于具有变分结构的分数阶p-Laplacian方程共振边值问题的研究,以往文献只讨论了解的存在性,我们得到了多解的存在性结果.第六章是本文的总结和工作展望.
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